Probabilidade

Um dado é lançado 3 vezes. Calcule a probabilidade de que o produto dos três números obtidos seja:
a) par;
b) múltiplo de dez.

Dados iniciais:

a = Número do primeiro lançamento.
b = Número do segundo lançamento.
c = Número do terceiro lançamento.

{a; b; c} E {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Combinações = 6³ = 216

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Resolução - questão (a):

Para o resultado ser par, temos que ter pelo menos 1 número par.
Então calcularemos a probabilidade de NENHUM número ser par.
A probabilidade de um número ser par é (1/2), igualmente aos ímpares.

P(I) = (1/2)(1/2)(1/2) = (1/2)³ = 1/8

P = 8/8 - 1/8 = 7/8

Resposta = 7/8

[Editado após a correção do Rihan]

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Resolução - questão (b):

Para o resultado ser múltiplo de 10, devemos multiplicar o número 5 por algum par, e terceiro número pode ser um qualquer.

(1/6) = Probabilidade de ser o número 5
(3/6) = Probabilidade de ser um número par.
(6/6) = Probabilidade de ser um número qualquer

Resposta = (1/6)(3/6)(1) = 1/12

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Respostas:

(a) 7/8

(b) 1/12

U = {(1; 1; 1); ...; (1; 2; 3); (3; 2; 1); (6; 5; 6) ... (6; 6; 6)}

n(U) = 6*6*6 = 216

(a) Produto ser PAR

Para o produto da trinca ser par:

(P; P; P) ou

(P; P; I) e suas permutações, ou

(P; I; I) e suas permutações

Lembrando-se de que:

U = ProP ∪ ProP

Para NÃO ser par:

(I; I; I)

n(U) = n(PPP) + n(PPP)

n(PPP) = n(U) - n(PPP)

n(PPP) = 216 - 27 = 189

p(PPP) = 189/216 = 7/8 = 0,875 = 87,5%

Ou então:

p(ser PAR o produto) = 1 - p(NÃO ser PAR o produto)

p(???) = 1 - p(I I I)

p(I I I) = p(I)*p(I)*p(I) = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8

p(???) = 1 -1/8 = 7/8 = 0,875 = 87,5%


(b) Ser múltiplo de 10 = ser múltiplo de PAR E de 5

A trinca tem que ser da forma (5; P; _) e suas 6 permutações (3!)

6* ( 1 *3 * 6 ) = 108

p(Múltiplo de 10) = 108/216 = 1/2 = 0,5 = 50%

Nossa! Errei feio ali:
"somente os números pares e o número 1."

Temos que ter pelo menos um par...
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Vou editar lá, para não confundi-lo.

Obrigado e desculpe-me.

Jessé de Jesus escreveu:Um dado é lançado 3 vezes. Calcule a probabilidade de que o produto dos três números obtidos seja:
a) par;
b) múltiplo de dez.

Solução da letra a sem muita complicação: temos os números: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Para o produto ser par, podemos ter:

PPP
PPI
PIP
IPP
PII
IPI
IIP


São 7 situações. Note que a propabilidade de sair qualquer número é igual a 1/2, pois temos:

3 pares em 6, ou seja, sair um número par é igual a: 3/6 = 1/2 e temos também

3 ímpares em 6, ou seja, sair um número ímpar é igual a: 3/6 = 1/2. Portanto:

P = 7*(1/2)³
P = 7*1/8
P = 7/8

Werill escreveu:Nossa! Errei feio ali:
"somente os números pares e o número 1."

Temos que ter pelo menos um par...
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Vou editar lá, para não confundi-lo.

Obrigado e desculpe-me.

Não há necessidade de se desculpar, Werill !

Cada 10 coisas, um erro... É estatístico, vale pra você , pra mim, pra todo o mundo...

Eu, por exemplo, ao resolver o item (b), me passei e considerei somente 5*2, mas, graças a você, vi que 5*PAR vai ser múltiplo de 10 obviamente...

Probabilidades, se você pensar, é MUITO fácil, MUITO mesmo. Basta você pensar e contar o que você quer...

A dificuldade da maioria é: PENSAR e CONTAR, não é probabilidade...

PROBABILIDADE DE ALGUMA COISA = (Nº DE ALGUMA COISA ACONTECER)/(Nº TUDO ACONTECER)

Pros matemáticos ficarem felizes:

p(E) = n(E)/n(U)

Mas, continuando, eu sempre exemplifico isso — que temos que pensar e contar corretamente — rememorando o nascimento do cálculo das probabilidades, que aconteceu nas trocas de correspondências entre Blaise PASCAL e um certo nobre e cavalheiro e cavaleiro francês, filósofo, mas também jogador viciado, figurinha constante na corte real francesa...

Ele, que era habitual jogador de dados e tinha uma LOOOONGA experiência, perguntava a Pascal o porquê de ser 7 a soma mais comum quando do lançamento de dois dados.

Ele explicava a sua dúvida a Pascal assim:

Há 3 maneiras de dar soma 6

3 + 3 = 6

2 + 4 = 6

1 + 5 = 6

E 3 maneiras de dar soma 7

6 + 1 = 7

5 + 2 = 7

4 + 3 = 7

Logo, a soma 6 e a soma 7 deveriam, após muitas e muitas jogadas, acontecer com a mesma freqüência !

Mas, pela sua vasta e enorme experiência, ele sabia que a soma 7 acontecia mais vezes do que a soma 6 !

Pascal lhe escreveu uma carta-resposta, onde explicava ao Chevalier de Méré (Antoine Gombaud), o erro do seu "argumento" :

Maneiras de soma 6:

3 + 3 =6

2 + 4 = 6

4 + 2 = 6

1+ 5 = 6

5 + 1 = 6

Ou seja, 5 modos

Maneiras de dar soma 7

6 + 1 = 7

1 + 6 = 7

5 + 2 = 7

2 + 5 = 7

4 + 3 = 7

3 + 4 = 7

Isto é, 6 formas

Logo, a soma 7 iria acontecer cerca de 20% mais vezes do que a soma 6...

O cavalheiro Cavaleiro de La Méré compreendeu bem o seu erro e a explicação de Pascal, se tornou um dono de Cassino de sucesso e, a partir daí, ficou bem mais rico ...

Nascia o Cálculo das Probabilidades, os Dados do Estado (Estatística) deixavam de narrar só o passado e começavam a prever o futuro, fazendo os nobres monarcas já gastarem antecipadamente o dinheirão que seria arrecadado nos próximos anos, conforme as previsões probabilísticas e, incrivelmente, o mundo mudou mesmo para sempre !

Contada e lida a história, Werill, repare que você está cometendo o mesmo erro do Cavaleiro...

Saudações históricas e otimistas !

E vamos lá !