Questão estilo prove algo

por Magno- Ter 28 Set 2021, 15:57

Considere a sequência de números inteiros: 1², 2³, 3², 4³, 5², 6³, onde o termo geral é dado por:

An = n², se n é ímpar
An = n³, se n é par

Mostre que se K é um inteiro ímpar positivo, então a soma dos K+1 primeiros termos da sequência é dada por:

(3K⁴ + 28K³ + 78K² + 80K + 27)/(24)

OBS: considere essa expressao uma fração, não sei por que mas deu invalid equation no latex

por FreddieMercury Ter 28 Set 2021, 17:19

Tá lá a prova que a questão pede.
Perceba que nela eu usei o termo geral da soma de todos os quadrados impares até certo número, e a soma dos cubos da sequencia 1,2,3,4,.... Vou presumir que você já conhece essas propriedades, porém caso não conheça, é só pedir que eu provo esses termos gerais.

Caso tenha alguma dúvida, tentarei responder com a maior clareza possível.

Abraços.

por FreddieMercury Ter 28 Set 2021, 17:54

Opa, esqueci de perguntar: Onde achou este problema?

por Magno- Qua 29 Set 2021, 10:05

FreddieMercury escreveu:Opa, esqueci de perguntar: Onde achou este problema?

É um exercício de segunda fase de uma olimpíada perto da minha cidade, se chama omabc. Eu olhei na internet e meio que consegui entender a soma de números consecutivos elevados ao quadrado e ao cubo mas mesmo assim não entendi seu procedimento nas linhas 3 e 4, de resto ( as operações matemáticas) eu consegui entender perfeitamente

por FreddieMercury Qui 30 Set 2021, 21:55

Opa.

Foi mal a demora, só pude mexer no computador agora.

Vou começar explicando e desenvolvendo uma forma de achar essas somas dos quadrados, cubos, e outros que eu consegui desenvolver:

Como pode ver, no final chegamos em uma forma de calcular essas somas apartir de termos anteriores.
Agora devemos começar com [latex]\Theta =2[/latex] e ir aumentando até quanto desejarmos: