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Series e funcoes

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Resolvido Series e funcoes

Mensagem por Fëanor Seg 27 Set 2021, 14:40

Considere a funcao:
[latex]f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}[/latex]
Calcule:
[latex]h(n) = \sum_{j = 1}^{n}\sum_{i = 1}^{n}f(\frac{i}{j})[/latex]

Resposta:
[latex]h(n) = \frac{n^2}{2}[/latex]


Última edição por Fëanor em Sab 09 Out 2021, 18:05, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Series e funcoes

Mensagem por tales amaral Seg 27 Set 2021, 17:47

Definindo uma matriz A de dimensões n x n para facilitar a questão:

[latex]\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{bmatrix}[/latex]
(matriz 3x3 para visualizar)

A questão vira achar a soma dos elementos dessa matriz, onde [latex]a_{i,j} = f\left(\dfrac{i}{j}\right)[/latex]. Observe que [latex]a_{i,j}+a_{j,i} = \dfrac{\dfrac{i^2}{j^2}}{\dfrac{i^2}{j^2}+1}+\dfrac{\dfrac{j^2}{i^2}}{\dfrac{j^2}{i^2}+1} = \dfrac{i^2}{i^2+j^2}+\dfrac{j^2}{j^2+i^2} = 1[/latex]. 


Observe também que os elementos da diagonal da matriz (onde i =j) são dados por [latex]a_{i,i} = \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}[/latex] e que a diagonal possui n elementos.


A matriz possui n^2 elementos, destes n fazem parte da diagonal e há [latex]\dfrac{(n^2-n)}{2}[/latex] pares [latex]a_{i,j},a_{j,i}[/latex].  A soma dos elementos dessa matriz é dada por: 
[latex]S = \dfrac{1}{2}\cdot n +\left(\dfrac{n^2-n}{2}\right) = \dfrac{n^2}{2}[/latex]

Não sei se ficou muito claro, mas tá ai o que eu pensei  lol!.
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