Ângulo formado por 2 planos

A figura abaixo mostra 2 planos secantes, α e β e os pontos A, B,C e A' tais que {C,B,A'} ⊂ α, A ∈ β e A não pertence a α e A' é a projeção ortogonal de A sobre α. Sabe-se que AB=AC=17cm , BC = 6cm r AA' = 15V2/2 cm

Calcule a medida x de um ângulo agudo formado pelos planos α e β

Resposta:

dantecamara escreveu:A figura abaixo mostra 2 planos secantes, α e β e os pontos A, B,C e A' tais que {C,B,A'} ⊂ α, A ∈ β e A não pertence a α e A' é a projeção ortogonal de A sobre α. Sabe-se que AB=AC=17cm , BC = 6cm r AA' = 15V2/2 cm

Calcule a medida x de um ângulo agudo formado pelos planos α e β

Resposta:

Dante,

com esses números não encontrei um ângulo de 45°, apenas de 40°.

Concordo com o Medeiros que o gabarito está errado:

Oi dantecamara!   

Acredito que o enunciado esteja incorreto. Para encontrar o gabarito, o certo seria BC = 16 cm.
Deixo minha resposta como complemento da resposta dos mestres (só para não perder a viagem kkkkk)

Pelo Teorema das três perpendiculares podemos desenhar um ponto P tal que AA'P= APC = 90^o. Veja a figura:



Veja que AP é a altura do triângulo isósceles ABC. Portanto, olhando para o triângulo retângulo APC:

[latex]\\\left\{\begin{matrix} PC=\frac{BC}{2}=8\\ AC = 17\\ AP^2 + PC^2 = AC^2 \end{matrix}\right.\;\rightarrow\;AP=15[/latex]

Agora que temos AA' e AP podemos encontrar o ângulo entre os planos APA'=θ.
Olhando para o triângulo retângulo AA'P:

[latex]\\sen\theta = \frac{AA'}{AP}=\frac{\frac{\cancel{15}\sqrt{2}}{2}}{\cancel{15}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\;,\;\;\;0\leq \theta\leq 90^o\\\\ \rightarrow\;\;\boxed{\theta = 45^o}[/latex]

matou a pau, Victor! Também achava que o erro estava no enunciado mas não tive a iniciativa de procurar o conserto.