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Esfera inscrita em pirâmide hexagonal (Fuvest?)

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Mensagem por monica_geller Seg 23 Ago 2021, 01:00

Olá, pessoal, tudo bem? Espero que sim!


Segue a questão que não tem uma origem definida, parecia ser Fuvest, mas não é pelo o que pesquisei:

Um cubo de aresta 2 cm possui os pontos médios A, B, C, D, E e F que, quando ligados, formam uma base hexagonal que, ao encontrar um vértice P do cubo, forma uma pirâmide hexagonal. Calcule o raio da esfera inscrita nessa pirâmide hexagonal de vértice P.



Resposta: (3 - √3)/2 cm


Desenho da questão:

Esfera inscrita em pirâmide hexagonal (Fuvest?) Piramide





Cheguei na aresta √2 do hexágono e na altura √3 da pirâmide, porém o meu raio da esfera não chega nesse valor. Fiz por semelhança de triângulos e etc.

Fiz com o triângulo √3, √2 e √5, e com o triângulo que desenhei, √3 - R (como hipotenusa) e R como cateto. Comparei (√3 - R) com √5 e R com √2. 



 Caso alguém possa me ajudar, serei grata! Não precisa nem explicar meu erro, só me mostrando o caminho correto já será ótimo!
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Mensagem por monica_geller Seg 23 Ago 2021, 16:10

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Mensagem por Rory Gilmore Seg 23 Ago 2021, 19:15

I) Cálculo de h:
h² + 2/4 = 
h² = 18/4 = 9/2
h = 3√2/2

II) Cálculo de x:
x² + 6/4 = 9/2
x² = 3
x = √3

III) Cálculo de r:
r/(√6/2) = ( √3 - r)/(3√2/2)                               Semelhança de triângulos.
2.r/√6 = (√3 - r).(2/3√2)                                   Invertendo as frações do denominador.
r/√6 = (√3 - r)/3√2                                           Dividindo tudo por 2.
3√2.r/√6 = √3 - r                                              Multiplicando tudo por 3√2.
3r/√3 = √3 - r                                                   Dividindo √2/√6 = 1/√3.   
r√3 = √3 - r                                                      Racionalizando.
r + r√3 = √3                                                     Passando r para a esquerda.
r.(1 + √3) = √3                                                 Pondo r em evidência.
r = √3/(1 + √3)                                                Isolando r.
r = √3.(1 - √3)/(- 2)                                         Racionalizando.
r = (√3 - 3)/(- 2)                                              Simplificando o resultado.
r = (3 - √3)/2 cm.


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Mensagem por monica_geller Seg 23 Ago 2021, 21:10

Oi, Roy, tudo bem?

Vi essa resolução aqui

Esfera inscrita em pirâmide hexagonal (Fuvest?) Volume

crédito: http://www.dinamatica.com.br/2014/05/volume-de-piramide-inscrita-no-cubo.html#ancora

Você poderia me explicar o porquê de, na sua resolução, não considerar como h o √3 e como lado 2√2, uma vez que a base do triângulo seria essa em vermelho (na minha opinião)

Esfera inscrita em pirâmide hexagonal (Fuvest?) Questz11

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Mensagem por Rory Gilmore Seg 23 Ago 2021, 22:08

Boa noite, Monica =)

Acontece que usei diferentes triângulos e chamei de h outra altura que não é a que está pensando, veja se esta imagem esclarece:

Esfera inscrita em pirâmide hexagonal (Fuvest?) 223

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