(Albânia) - Trigonometria

O valor da expressão [latex]\frac{\left ( cos^^{2}\left ( \frac{3\pi}{11} \right ) - sen^^{2}\left ( \frac{2\pi}{11} \right ) \right )sen\left ( \frac{6\pi}{11} \right )}{sen\left ( \frac{2\pi}{11} \right )}[/latex] pode ser escrito na forma de uma fração irredutível [latex]\frac{p}{q}[/latex],onde p e q são números inteiros positivos. Então o valor de p + q vale:

a)[latex]1[/latex]

b)[latex]3[/latex]

c)[latex]5[/latex]

d)[latex]7[/latex]

e)[latex]9[/latex]

Gabarito:

usaremos fortemente as propriedades de transformação de soma em produto e vice-versa.
[latex]\begin{align*}
\left(\cos^2\frac{3\pi}{11}-\sin^2\frac{2\pi}{11}\right)\sin\frac{6\pi}{11} &= 2\sin\frac{3\pi}{11}\cos^3\frac{3\pi}{11}-\sin^2\frac{2\pi}{11}\sin\frac{6\pi}{11}\\
&= \frac{\sin\frac{3\pi}{11}}{2}\left(4\cos^3\frac{3\pi}{11}-3\cos\frac{3\pi}{11}\right)+3\frac{\sin\frac{3\pi}{11}}{2}\cos\frac{3\pi}{11}-\sin^2\frac{2\pi}{11}\sin\frac{6\pi}{11}\\
&= \frac{\sin\frac{3\pi}{11}}{2}\cos\frac{9\pi}{11}+3\frac{\cos\frac{6\pi}{11}}{4}-\sin^2\frac{2\pi}{11}\sin\frac{6\pi}{11}\\ 
&= \frac{\sin\frac{12\pi}{11}-\sin\frac{6\pi}{11}}{4}+\frac{3\cos\frac{6\pi}{11}}{4}-\sin^2\frac{2\pi}{11}\sin\frac{6\pi}{11}\\ 
&= \frac{-\sin\frac{\pi}{11}+2\sin\frac{6\pi}{11}}{4}-\frac{4\sin^2\frac{2\pi}{11}\sin\frac{6\pi}{11}}{4}\\ 
&= \frac{-\sin\frac{\pi}{11}+2\sin\frac{6\pi}{11}\left(1-2\sin^2\frac{2\pi}{11}\right)}{4}\\ 
&= \frac{-\sin\frac{\pi}{11}+2\sin\frac{6\pi}{11}\cos\frac{4\pi}{11}}{4}\\ 
&= \frac{-\sin\frac{\pi}{11}+\sin\frac{10\pi}{11}+\sin\frac{2\pi}{11}}{4}\\ 
\end{align*}[/latex]
que, por sua vez, é igual a
[latex]\begin{align*}
\frac{\sin\frac{2\pi}{11}}{4}\\ 
\end{align*}[/latex]
o resto é simples.

Muito obrigado pela resolução SilverBlade,excelente!

Tinha cometido alguns erros nas transformações da minha resolução,porém consegui consertá-los. Procedi da seguinte maneira:

Dadas as seguintes relações:

[latex]cos2\theta = 2cos^^{2}\theta - 1[/latex]


e

[latex]cos2\theta = 1 - 2sen^^{2}\theta[/latex]


Teremos a expressão da seguinte forma:

[latex]E = \frac{\left ( \frac{cos\left ( \frac{6\pi}{11} \right ) + 1}{2} + \frac{cos\left ( \frac{4\pi}{11} \right ) - 1}{2} \right )sen\left ( \frac{6\pi}{11} \right )}{sen\left ( \frac{2\pi}{11} \right )}[/latex]


[latex]E = \frac{\left ( \frac{cos\left ( \frac{6\pi}{11} \right )}{2} + \frac{cos\left ( \frac{4\pi}{11} \right )}{2} \right )sen\left ( \frac{6\pi}{11} \right )}{sen\left ( \frac{2\pi}{11} \right )}[/latex]


Aplicando Prostaférese na soma entre parênteses:

[latex]E = \frac{cos\left ( \frac{5\pi}{11} \right )cos\left ( \frac{\pi}{11} \right )sen\left ( \frac{6\pi}{11} \right )}{sen\left ( \frac{2\pi}{11} \right )}[/latex]


[latex]E = \frac{cos\left ( \frac{5\pi}{11} \right )cos\left ( \frac{\pi}{11} \right )sen\left ( \frac{6\pi}{11} \right )}{2sen\left ( \frac{\pi}{11} \right )cos\left ( \frac{\pi}{11} \right )}[/latex]


[latex]E = \frac{cos\left ( \frac{5\pi}{11} \right )sen\left ( \frac{6\pi}{11} \right )}{2sen\left ( \frac{\pi}{11} \right )}[/latex]



[latex]\frac{5\pi}{11}[/latex] e [latex]\frac{6\pi}{11}[/latex] são suplementares,logo:

[latex]cos\left ( \frac{5\pi}{11} \right ) = -cos\left ( \frac{6\pi}{11} \right )[/latex]


Portanto:

[latex]E = -\frac{cos\left ( \frac{6\pi}{11} \right )sen\left ( \frac{6\pi}{11} \right )}{2sen\left ( \frac{\pi}{11} \right )}[/latex]

[latex]E = -\frac{sen\left ( \frac{12\pi}{11} \right )}{4sen\left ( \frac{\pi}{11} \right )}[/latex]


Porém, [latex]sen\left ( \frac{12\pi}{11} \right ) = -cos\left ( \frac{\pi}{11} \right )[/latex]


Dessa forma:

[latex]E = \frac{sen\left ( \frac{\pi}{11} \right )}{4sen\left ( \frac{\pi}{11} \right )}[/latex]


[latex]E = \frac{1}{4}[/latex]

Errei justamente aqui no final,quando fui efetuar a equivalência entre os ângulos suplementares.