Autovalor e autovetor
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Autovalor e autovetor
por letycarol Sex 06 Ago 2021, 17:34
Seja λ um autovalor de A com autovetor associado X. Demonstre que λk e um autovalor de A^{k} = A . . . A associado a X, em que k e um inteiro positivo.
letycarol- Iniciante
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SilverBladeII- Matador
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Re: Autovalor e autovetor
por letycarol Sex 06 Ago 2021, 19:46
λ^kSilverBladeII escreveu:só pra confirmar, é λk ou λ^k?
letycarol- Iniciante
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Re: Autovalor e autovetor
por SilverBladeII Sex 06 Ago 2021, 20:56
Ok.
A gente sabe que para qualquer matriz A, produtos entre suas potencias sempre comutam. Portanto o resultado
[latex]A^k-\lambda^kI=(A^{k-1}+\lambda A^{k-2}+\dots+\lambda^{k-2}A+\lambda^{k-1}I)(A-\lambda I)[/latex]
é válido
Assim,
[latex]A^kx-\lambda^kx=(A-\lambda^k I)x=(A^{k-1}+\dots+\lambda^{k-1}I)(A-\lambda I)x
=(A^{k-1}+\dots+\lambda^{k-1}I)0=0[/latex]
de forma que
[latex]A^kx=\lambda^kx[/latex]
e temos o que queríamos
[latex][/latex]
A gente sabe que para qualquer matriz A, produtos entre suas potencias sempre comutam. Portanto o resultado
[latex]A^k-\lambda^kI=(A^{k-1}+\lambda A^{k-2}+\dots+\lambda^{k-2}A+\lambda^{k-1}I)(A-\lambda I)[/latex]
é válido
Assim,
[latex]A^kx-\lambda^kx=(A-\lambda^k I)x=(A^{k-1}+\dots+\lambda^{k-1}I)(A-\lambda I)x
=(A^{k-1}+\dots+\lambda^{k-1}I)0=0[/latex]
de forma que
[latex]A^kx=\lambda^kx[/latex]
e temos o que queríamos
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SilverBladeII- Matador
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