determinar base para núcleo e para imagem de T

Seja T : R3 → R4 dada por T(x, y, z) = (x−2z, x−2y, y −z, x−2z).

determine uma base para o núcleo de T e uma base para imagem de T.

Oi thetruth!  

• Um elemento de ℝ³ está no núcleo se a transformação T o transforma no elemento neutro de ℝ⁴, ou seja:

[latex]\\T(x, y, z)=(x-2z,x-2y,y-z,x-2z)=(0,0,0,0)\\\\ \left\{\begin{matrix} x-2z=0\\ x-2y=0\\ y-z=0 \end{matrix}\right.\;\rightarrow\;x=2z\;\;\text{e}\;\;y=z[/latex]

Logo, o elemento é da forma (x, y, z) = (2z, z, z) = z.(2, 1, 1), de modo que {(2,1,1)} é uma base de N(T).

• Um elemento do contra-domínio ℝ⁴ pertence à imagem de T se for da forma:

[latex]\\(x-2z,x-2y,y-z,x-2z)=x(1,1,0,1) + y(0, -2, 1, 0) + z(-2, 0, -1, -2)[/latex]

Assim, Im(T) = [ (1,1,0,1), (0,-2,1,0), (-2,0,-1,-2) ]. Como esses geradores não são L.I., temos que escaloná-los para obter uma base para a imagem:

[latex]\\\begin{bmatrix} 1 & 1& 0& 1\\ 0& -2& 1& 0\\ -2& 0& -1& -2 \end{bmatrix}\;\xrightarrow[]{L_3=L_3+2L_1}\;\begin{bmatrix} 1 & 1& 0& 1\\ 0& -2& 1& 0\\ 0& 2& -1& 0 \end{bmatrix}\;\xrightarrow[]{L_3=L_3+L_2}\; \begin{bmatrix} 1 & 1& 0& 1\\ 0& -2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0 \end{bmatrix}[/latex]

Portanto, {(1,1,0,1), (0,-2,1,0)} é uma base para Im(T).