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Funções de Variavel real

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Funções de Variavel real  Empty Funções de Variavel real

Mensagem por lili2016 Dom 18 Jul 2021, 22:23

Boa noite, peço ajuda nessa questão.
Mostre que as funções abaixo são bijetoras e encontre as suas inversas.

 [latex]f:\mathbb{R}\rightarrow , f(x)=5x+2[/latex]

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Funções de Variavel real  Empty R: FUNÇÕES DE VARIAVEL REAL

Mensagem por gabriel de castro Dom 18 Jul 2021, 22:48

Boa noite lili2016, tudo bem?

Por definição temos que para uma função ser Bijetora ela deve ser ao mesmo tempo Sobrejetora e Injetora, então, devemos provar essas duas características para sua função. Primeiramente, para ser Injetora devemos ter que se x1≠x2 então f(x1)≠f(x2), portanto, para x1=x2 obteremos f(x1)=f(x2), provando para sua função: 

[latex]f(x_{1})=f(x_{2})\;\Rightarrow\;5x_{1}+2=5x_{2}+2\;\Rightarrow\;5x_{1}=5x_{2}\;\therefore\;\boxed{x_{1}=x_{2}}[/latex]

Agora, para a sua função "sofrer" sobrejeção devemos ter que para todo y ∈ CD (contradomínio) existe um x ∈ D (domínio), ou seja, f(x)=y e iremos encontrar o valor de x para que isso seja verdadeiro:

[latex]f(x)=y\;\Rightarrow\;5x+2=y\;\therefore\;x=\frac{y-2}{5}[/latex]

Por fim, faremos a devida substituição de x para verificarmos a igualdade:

[latex]f(x)=5x+2\;\Rightarrow\;f\left (\frac{y-2}{5} \right )=5\left ( \frac{y-2}{5} \right )+2\;\therefore\;\boxed{f\left (\frac{y-2}{5} \right )=y}[/latex]

Verificamos então que tendo um y no contradomínio existirá um x=y-2/5 no domínio, tal que essa função seja igual a y

Espero ter ajudado Smile

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Funções de Variavel real  Empty Re: Funções de Variavel real

Mensagem por MarioCastro Dom 18 Jul 2021, 23:03

Para achar a inversa substitua o ''x'' por ''y'' (esse é o método mais fácil, mas há outros).

y = 5x +2   vira   x = 5y +2       y = (x - 2)/5 --> ƒ-¹(x) = (x-2)/5


Bom lembrar que apenas as funções bijetores admitem uma inversa.

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Funções de Variavel real  Empty Re: Funções de Variavel real

Mensagem por Carolzita Lisboa Qua 21 Jul 2021, 09:31

Se garantem!

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Funções de Variavel real  Empty Re: Funções de Variavel real

Mensagem por lili2016 Seg 26 Jul 2021, 09:43

Bom dia só uma duvida , nesse caso a função ela é sobrejetiva e não injetiva, sendo assim ela não é bijetora pois para ser bijetora é preciso que ela seja injetiva e sobrejetiva .
E sobre a inversa o Mário disse que só admite inversa para função bijetoras.

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Funções de Variavel real  Empty Re: Funções de Variavel real

Mensagem por qedpetrich Seg 26 Jul 2021, 11:40

A função é injetiva sim, o gabriel provou que se f(x1) = f(x2) então a única maneira de termos uma mesma imagem é somente quando x1 = x2.
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Funções de Variavel real  Empty Re: Funções de Variavel real

Mensagem por lili2016 Seg 26 Jul 2021, 19:32

Boa noite entendido.
Obrigada

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Funções de Variavel real  Empty Re: Funções de Variavel real

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