UEPG 2014 PSS - Geometria Analítica

Os pontos A e D representam a interseção da circunferência C de equação x² + y² = 13  e com a reta r de equação y = x - 1. Os pontos B e E representam a interseção da circunferência C com a reta s que passa pelo ponto F(1,0) e é perpendicular a reta r. Considerando que A pertence ao primeiro quadrante e que B pertence ao segundo quadrante, assinale o que for correto.

01) A área do trapézio ABDE é 25 unidades de área.
02) O ângulo formado entre a reta r e a reta que passa pelos pontos A e B é menor que 60º.
04) A equação geral da circunferência com centro no ponto médio do segmento AE e com raio 3 é dada por x² + y² - 6x = 0
08) A distância do ponto A à reta s é menor do que 3. 

Não encontrei o gabarito. 

Minha resolução:

Item 01) 
Interseção C e r → x² + (x-1)² = 13 → x² - x - 6 = 0 → x' = -2 e x'' = 3; y' = -3 e y'' = 2. Como A pertence ao primeiro quadrante A = (3;2) e D = (-2;-3)
s: y = - x + 1 
Interseção C e s → x² + (1-x)² = 13 → x² - x - 6 = 0 →  x' = -2 e x'' = 3; y' = 3 e y'' = -2. Como B pertence ao segundo quadrante B = (-2;3) e E = (3;-2). 
Base maior do trapézio = segmento BD = 6 e a base menor é o segmento AE = 4. A altura é 5. Logo, a área é 25 u.a. 01 é correta.

Item 02) 
reta r: y = x - 1
A = (3;2) e B = (-2;3) → reta t


t: 

Ângulo formado entre duas retas: 



 = 1
...
tg α = 3/2 (?)

Item 04) 
Ponto médio entre A e E é (3;0) = centro da circunferência de raio 3
x² - 2.x.xo + xo² + y² - 2.y.yo + yo² = R²
x² -6x + 9 + y² = 9
x² + y² - 6x = 0
Item 04 é verdadeiro

Item 08) 
Distância ponto-reta: d=|Axo + Byo + C) / √A² + B²

Reta s: -x+1=y    --->  -x-y+1=0    ---> A = - 1    B = -1    C = 1
ponto A = (3,2)    ----> xo = 3      yo  = 2

d = 4/ √2
racionaliza---> 2√2 < 3. Item 08 é verdadeiro. 

Assim, gostaria de ajuda na 02 e também queria saber se a resolução das outras está correta. 

Olá,

Minhas contas bateram com as suas e não acho que eu errei algo nos dois primeiros itens.

Dê uma olhada na minha tentativa de traçar a tangente no círculo trigonométrico


Quanto maior o ângulo, maior a tangente (respeitando que 0≤x<π/2), logo Alfa < 60.

Jo

quanto ao item 02, que me parece ser sua dúvida, e aproveitando o seu desenho, segue um detalhamento do cálculo da tangente entre as duas retas.



quanto aos outros itens, são todos verdadeiros e me parece que você acertou todas as respostas mas não verifiquei suas contas porque falta-me paciência para isso -- não tenho pendor para professor, que é quem faz essa atividade. Talvez algum colega nos socorra.

_____________________________________________ADENDO

na 3ª linha (da figura) esqueci de colocar o sinal negativo na frente da -tg(β - α)

No (4) e ( também fecharam, todas verdadeiras. Aliás, qual o gabarito ?
Pela minha resolução todas estão corretas, mas eu fiz tanta conta que é provável de eu ter errado alguma.

Medeiros escreveu:Jo

quanto ao item 02, que me parece ser sua dúvida, e aproveitando o seu desenho, segue um detalhamento do cálculo da tangente entre as duas retas.



quanto aos outros itens, são todos verdadeiros e me parece que você acertou todas as respostas mas não verifiquei suas contas porque falta-me paciência para isso -- não tenho pendor para professor, que é quem faz essa atividade. Talvez algum colega nos socorra.

_____________________________________________ADENDO

na 3ª linha (da figura) esqueci de colocar o sinal negativo na frente da -tg(β - α)

olá, não entendi essa 3ª linha da figura.

MarioCastro escreveu:No (4) e ( também fecharam, todas verdadeiras. Aliás, qual o gabarito ?
Pela minha resolução todas estão corretas, mas eu fiz tanta conta que é provável de eu ter errado alguma.

Olá. 
Me mandaram uma foto da questão e disseram que todas são verdadeiras, no entanto não encontrei o gabarito oficial para confirmar. Mas acredito que todas são verdadeiras sim.

jopagliarin escreveu:olá, não entendi essa 3ª linha da figura.

oi, perfeitamente.

quando a questão pediu o ângulo entre aquela retas certamente referia-se ao menor ângulo e é este que vamos buscar.

queremos o ângulo theta mas conhecemos somente a tangente de alfa e de beta. Com as tangentes que conhecemos (de alfa e beta) conseguimos calcular diretamente apenas a tangente de 180º-theta. Porém, tg(180º - x) = -tg(x). Logo

na permanência da dúvida, torne a perguntar.

o que vc reescreveu foi exatamente o que eu não entendi. 
como eu sei que tg(180º - x) = -tg(x)? como eu visualizo isso ou qual conteúdo preciso rever?

Sen (180 - x ) = Sen x
Cos (180 - x ) = -Cos x

Tg (180 - x ) = -Tg x

Seno do suplemento, cosseno do suplemento 
São ideias que você vê no inicio de trigonometria