Polinômios

Determine todos os polinômios não constantes P(x) que satisfazem [latex]16P(x^{2})=P(2x)^{2}[/latex]

Se a é o coeficiente lider de P, temos que 
[latex]16a=2^{2n}a^2[/latex],
onde n é o grau do polinomio

Da relação dada, se x é raíz de P, então [latex]x^2/4[/latex] e [latex]\pm2\sqrt x[/latex] também são raízes.
Se k é raiz,

se [latex]0 < |k| < 4[/latex], então [latex]0 < k^2/4 < |k| < 4[/latex]
fazendo isso repetidas vezes, temos que
[latex]k^2/4 > k^4/64 > k^8/16384 > ...[/latex]
são todos raízes de P, ou seja, P tem infinitas raízes. Absurdo, pois P não é nulo

Se |k|>4, temos que [latex]k^2/4 > |k| > 4[/latex]. Novamente, fazendo isso repetidas vezes,
[latex]k^2/4 < k^4/64 < k^8/16384 < ...[/latex]
são raizes de P. Novamente um absurdo.

Se k=-4, 
[latex]4i, 4\sqrt{i}, 4\sqrt[4]{i}, 4\sqrt[8]{i}, ...[/latex]
são todos raizes distintas de P. Mais uma vez absurdo

As possiveis raízes de P, então, são 0 ou 4.
Suponha [latex]P(x)=ax^r(x-4)^s[/latex], onde r+s=n

Assim, se [latex]s\neq 0[/latex]
[latex]\begin{align*}
16P(x^2)&=P(2x)^2\\
\implies 16ax^{2r}(x^2-4)^s&=a^2\cdot2^{2r}x^{2r}(2x-4)^{2s}\\
&=2^{2n}a^2\cdot x^{2r}(x-2)^{2s}\\
\implies (x+2)^s&=(x-2)^{s}
\end{align*}[/latex]
Temos outra vez um absurdo. Portanto s=0 e
[latex]P(x)=16\left(\frac{x}{4}\right)^n[/latex]
Para quaisquer inteiros positivos [latex]n[/latex].