Semirreta

Olá, boa tarde! Alguém poderia me ajudar ? Agradeço! 

Como foi informado pelo enunciado, a reta AB é perpendicular a reta l, isso implica que o produto de seus coeficientes angulares deve ser -1:

[latex]l: 3x + 2y = 37 \rightarrow m_l = -\frac{3}{2}[/latex]


[latex]AB \perp l \leftrightarrow m_{ab} \cdot m_l = -1 \;\; \therefore \;\; -\frac{3}{2} \cdot m_{ab} = -1 \rightarrow m_{ab} = \frac{2}{3}[/latex]



Conhecendo o coeficiente angular e o ponto A, é possível calcular a equação da reta suporte de AB:


[latex]y - y_0 = m \cdot (x-x_0) \rightarrow y - 6 = \frac{2}{3}(x-4)\newline \therefore Eq\;AB: 3y-2x-10=0[/latex]


Fazendo a interseção da reta AB com a reta l, teremos as coordenadas de B:


[latex]\left\{\begin{matrix} 3x+2y-37=0\\ 3y-2x-10=0\end{matrix}\right. \;\;\therefore x=7,\;\; y=8[/latex]


B=(7,


O ponto c pertence a reta AB, consequentemente, suas coordenadas podem ser escritas como: [latex]\left ( x_c, \frac{2x}{3}+\frac{10}{3} \right )[/latex]

A distância BC é o quadruplo da distância AB, logo:

[latex]\sqrt{(7-x)^{2}+(8-(\frac{2x}{3}+\frac{10}{3}))^{2}}=4\cdot \sqrt{(7-4)^{2}+(8-6)^{2}}[/latex] -> Elevando ao quadrado dos dois lados:

[latex](7-x)^{2}+(8-(\frac{2x}{3}+\frac{10}{3}))^{2}=16\cdot 13[/latex]


[latex]x^2 -14x + 49 + \frac{4x^2}{9}-\frac{56x}{9}+\frac{196}{9}=208[/latex] -> Multiplicando por 9:

 
[latex]9x^2-126x+441+4x^2-56x+196=1872 \;\;\rightarrow 13x^2-182x-1235=0[/latex]


Resolvendo esta equação, teremos: x = 19 ou x = -5 . -5 não convém, portanto, a abscissa de C vale 19. E como C pertence a AB, podemos utilizar a equação de AB para calcular a ordenada do C:


[latex]3y-2x-10=0\;\;\rightarrow 3y-2(19)-10=0[/latex]


y = 16, logo, o ponto C é C(19, 16) -> alternativa e

Bons estudos!

A situação problema pode ser visualizada no GeoGebra, a reta azul é a reta AB, a reta preta é a reta l, os pontos A, B e C estão demarcados. Perceba que a distância BC é 4 vezes maior que a AB: [latex]14,42 \simeq 4 \cdot 3,61[/latex]

barbara0

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