INSPER - 2014/2 - CONE, CILINDRO E ESFERA

Considere uma esfera de raio medindo R e um plano que a tangencia. Pode-se associar a ela um outro sólido, obtido da seguinte maneira: 
• constrói-se um cilindro equilátero de raio R com uma das bases contida no plano;
• retira-se desse cilindro dois cones circulares, sendo que a base de cada um deles coincide com uma das bases do cilindro e os vértices coincidem em V, no centro desse cilindro.
O sólido que resta após a retirada dos cones é chamado de anticlepsidra e tem o mesmo volume da esfera. Ambos os sólidos estão representados na figura abaixo.

Apesar de terem o mesmo volume, a esfera e a anticlepsidra associada não têm a mesma área superficial. A razão entre a área da superfície esférica e a área da superfície da anticlepsidra é



Não entendi a parte destacada em vermelho por mim. Se são retirados dois cones, qual a lógica de se somar área lateral do cilindro (do qual já foi retirada uma parte, então não entendo por que a contabilizou por completo) com dois cones (que cones são esses)?

Essa montagem é feita para, usando o princípio de Cavalieri, deduzir a fórmula do volume da esfera no ensino médio. Aqui o livro aproveita para fazer um outro exercício e quem já conhece aquela teoria não sofre embaraço.

Clepsidra é aquele aparelho com forma de dois cones invertidos usado para medir o tempo pelo gotejamento de água (isso no tempo do Élcio). No caso atual temos uma anticlepsidra, ou seja, um cilindro sem a clepsidra; portanto temos um cilindro com dois buracos que são os dois cones retirados.

Então a superfície dessa anticlepsidra é a superfície externa (lateral) do cone (que continua) mais a superfície interna referente aos dois buracos dos cones retirados. Note que as bases do cilindro sumiram e os cones também não as têm porque são buracos.

Medeiros escreveu:Então a superfície dessa anticlepsidra é a superfície externa (lateral) do cone (que continua) ...

Que cone que continua? Se eu tiro dois cones do cilindro, como que fica um cone? Onde está esse cone e por que a área lateral não se altera?

São retirados o cone superior e o cone inferior.
O que resta é o cilindro original com dois buracos cônicos: um em cima e outro embaixo. 

Quanto à medição do tempo, que era feito também com areia, é do meu tempo e do tempo do Medeiros!

negativo, sr. Élcio.
Com areia funcionava a ampulheta -- e durante a nossa vida profissional, la loonge, haviam empresas que disbribuiam pequenas ampulhetas aos funcionários para que controlassem o tempo ao telefone, lembra disto?
Já a clepsidra foi um precursor da ampulheta e funcionava com água -- o tempo desta eu não cheguei a pegar, assim como ainda não tomei as duas doses da vacina! huasahahsahaha

Ainda estou meio confuso acerca da anticlepsidra, então fui em busca de alguma imagem.
Encontrei uma nesse simulador do geogebra: https://www.geogebra.org/m/bpkQGYHG

 

Porém eu ainda fiquei com uma dúvida: A área da anticlepsidra é essa parede lateral azul junto com a área daqueles dois cones que "não existem"?
Se for isso, ainda não consigo entender como esse objeto tem uma área "dentro dele" para ser contada junto com a de fora. Parece meio esquisito.

Obs: Esse foi o melhor ângulo que consegui pegar da anticlepsidra, então me perdoem caso não tenha ficado muito claro.

Foram retirados do cilindro apenas as duas bases e os dois buracos cônicos

Note que a parte lateral do cilindro não foi alterada: Sl = 2.pi.R.h = 2.pi.R.(2.R) = 4.pi.R²

Á área lateral dois cones retirados vale Slc = 2.pi.R.g (Calcule g)

A área de cada buraco cônico é igual à área lateral dos dois cones.

Elcioschin escreveu:Foram retirados do cilindro apenas as duas bases e os dois buracos cônicos

Note que a parte lateral do cilindro não foi alterada: Sl = 2.pi.R.h = 2.pi.R.(2.R) = 4.pi.R²

Á área lateral dois cones retirados vale Slc = 2.pi.R.g (Calcule g)

A área de cada buraco cônico é igual à área lateral dos dois cones.

Puxa, mestre, agora entendi.

Não tinha entendido que as áreas dos buracos cônicos eram contados na parte de dentro. Tinha imaginado que o enunciado pedia a área de "dentro" desses cones, mas lá dentro do cilindro. Até que decidi comparar eles com funis vazios, então consegui enxergar a área de fora. 

Muito obrigado, Elcio!