Cone e cilindro inscritos na esfera

por luizditzel Qui 19 maio 2011, 18:45

(ITA) Um cone e um cilindro, ambos retos, possuem o mesmo volume e bases idênticas. Sabendo-se que ambos são inscritíveis em uma esfera de raio R, então a altura H do cone será igual a :

por **Elcioschin** Qui 19 maio 2011, 22:37

Volume cilindro ----> V = pi*r²*h ----> h = altura do cilindro

Volume cone ----> V = (1/3)*pi*r²*H ----> V = pi*r²*(H/3) ----> H = altura do cone

Igualando -----> H = 3h ----> h = H/3

Cilindo inscrito na esfera de raio R ----> R² = (h/2)² + r² ----> R² - r² = h²/4 ----> R² - r² = H²/36

Cone inscrito na esfera de raio R ----> R² = (R - H/2)² + r² ----> R² - r² = R² - R*H + H²/4

Igualando ----> R² - R*H + H²/4 = H²/36 ----> 2*H²/9 - R*H + R² = 0 ----> 2*H² - 18*R*H + 9*R²

Delta = (- 18R)² - 4*2*9*R² ----> D = 252*R² ----> D = 6*\/7*R

Raízes ----> H = (18*R) + - 6*\/7*R)/2*2 ----> H = R*(9 + 3*\/7)/2 ou H = (R*(9 - 3*\/7)/2

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