Álgebra

Se x=y^n, sendo que n é o mínimo múltiplo comum dos índices das raízes de x, então a expressão √x-8/∛x-4  pode ser representada por:

(A) y2-4/y+2
(B)y²-2y-4/y-2
(C)y²+2y-4/y²+4
(D)y²+2y+4/y+2
(E)y³-8/y²+2y+4

RESPOSTA: D

Prezado, fui buscar a questão original, pois não estava chegando no resultado, e vejo que sua escrita acabou não deixando claro o verdadeiro enunciado. Recomendo que use sempre parênteses, quando não usar o LATEX, para diferenciar numerador e denominador.

Enunciado original:


Índices das raízes de x: 1 e 3 --> MMC(1,3) = n = 3

Numerador: sqrt(x) - 8 = x^(1/2) - 8 = y^n/2 - 8 --> como n = 3 --> y^3/2 - 8

Denominador: raiz cúbica(x) - 4 = x^1/3 - 4 = y^n/3 - 4 --> como n = 3 --> y - 4

Portanto:

(y^3/2 - /(y - 4) --> Vamos reescrever a expressão

(y^3/2 - /(y - 4) = ((y^1/2)³ - 2³)/((y^1/2)^2 - 2^2) --> repare que o numerador é o produto notável a³ - b³ e o denominador a² - b²

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

a² - b² = (a+b)(a-b)

Logo:

((y^1/2)³ - 2³)/(y - 4) = (y^1/2 - 2)*(y + 2*y^1/2 + 4)
((y^1/2)^2 - 2^2) - (y^1/2 - 2)*(y^1/2 + 2)

Dividindo, simplificando o elemento comum (y^1/2 - 2), teremos:

(y + 2*y^1/2 + 4)/(y^1/2 + 2)

Tem certeza dos expoentes do gabarito? Veja que cheguei nos coeficientes corretos, com grau a menos nos expoentes.

Sim, estou vendo. Porém, acredito que estejam certos as respostas e o gabarito. De acordo com o próprio gabarito do concurso.