Seja f: ℝ →ℝ e f(x) =4senx+cos2x ....

por Marano Ter 30 Mar 2021, 20:32

Seja f: ℝ →ℝ e f(x) = 4senx+cos²x. Assinale a alternativa correta.

a) O maior valor que f assume é 5.
b) O mínimo valor que f assume é -4.
c) f assume seu maior valor quando senx = 1/2.
d) f assume seu menor valor quando senx = 1.

Gab: b)

Eu fiz cos²x = 1 - sen²x --> f (x) = -sen²x + 4senx +1 = 0. Depois disso fiz senx = A e estudei os vértices da função quadrática, o que fez eu encontrar letra a).

por **Emanuel Dias** Ter 30 Mar 2021, 21:13

Seja f: ℝ →ℝ e f(x) =4senx+cos2x .... Scree407

O caminho é transformar a função variável em quadrado perfeito para ter controle.

por **Elcioschin** Ter 30 Mar 2021, 22:26

Esta questão está esquisita

f(x) = 4.senx + cos²x ---> f(x) = 4.senx + 1 - sen²x ---> f(x) = - sen²x + + 4.senx + 1

Parábola com a concavidade voltada para baixo.
O gráfico tem um ponto de máximo no vértice. Gabarito b) errado

(senx)V = - b/2.a ---> (senx)V = - 4/2.(-1) ---> (senx)V = 2 ---> impossível

Suponho que haja erro no enunciado

por **Emanuel Dias** Ter 30 Mar 2021, 23:43

Elcioschin escreveu:Esta questão está esquisita

f(x) = 4.senx + cos²x ---> f(x) = 4.senx + 1 - sen²x ---> f(x) = - sen²x + + 4.senx + 1

Parábola com a concavidade voltada para baixo.
O gráfico tem um ponto de máximo no vértice. Gabarito b) errado

(senx)V = - b/2.a ---> (senx)V = - 4/2.(-1) ---> (senx)V = 2 ---> impossível

Suponho que haja erro no enunciado

Mestre, esse caminho de usar a parábola é válido? Me parece um método esquisito, a função é periódica e se fizermos a transformação em uma função do segundo grau ela vai para - infinito, o que não é possível com sin e cos sendo limitados. Eu sempre usei o caminho de completar quadrados.

Se fizer dessa forma o resultado bate com gabarito e com o gráfico plotado no geogebra.

Seja f: ℝ →ℝ e f(x) =4senx+cos2x .... Scree408

por Marano Qua 31 Mar 2021, 09:52

Verdade, mestre Elcio.
Tbm optei por esse caminho, mas acabei esquecendo de verificar a existência de (sinx)v = 2.
Ainda sim, não compreendi pq por meio da parábola não encontramos a solução, visto que já utilizei ela em mts outros exercícios desse tipo. De qualquer forma já agradeço ao @Emanuel Dias pela resolução alternativa.

por God'splan Qua 31 Mar 2021, 12:45

Emmanuel, o erro foi que o mestre Elcio não restringiu o domínio da função. Como estamos mexendo com uma função do 2 grau do tipo ak^2+bk+c, sendo k=sen(x) devemos restringir esse domínio para [-1,1], logo, desenhando o gráfico você verá facilmente que o valor mínimo é quando k=sen(x)=-1, resultando em y=-4

Seja f: ℝ →ℝ e f(x) =4senx+cos2x .... Screen13

por **Emanuel Dias** Qua 31 Mar 2021, 13:50

God'splan escreveu:Emmanuel, o erro foi que o mestre Elcio não restringiu o domínio da função. Como estamos mexendo com uma função do 2 grau do tipo ak^2+bk+c, sendo k=sen(x) devemos restringir esse domínio para [-1,1], logo, desenhando o gráfico você verá facilmente que o valor mínimo é quando k=sen(x)=-1, resultando em y=-4

Ah, entendi, muito bem lembrado!