EN - Trigonometria

por BatataLaranja345 Dom 28 Mar 2021, 11:34

Bom dia amigos e amigas do fórum! Gostaria de saber quem poderia me ajudar nessa questão da Escola Naval! Segue:

EN) Coloque (F) falso ou (V) verdadeiro nas proposições abaixo e assinale a opção correta.
I. (1 + cot²x).(1 - cot²x) = 1 ∀ x ∈ ℝ, x ≠ k.π, k ∈ ℤ

II. [1 + sec(4x)] = 2.sec²x + tan⁴x, ∀ x ∈ ℝ, x ≠ (π/2) + kπ, k ∈ ℤ

III. sen(13π/12).cos(11π12) = 1/4

a) F - V - V
b) F - F - V
c) V - V - F
d) V - V - V
e) V - F - V

Então gente, preciso de ajuda nessa questão. Consegui provar somente a (III), mas as outras, infelizmente, não...
Quem puder me ajudar agradeço desde já!! cheers

por **Elcioschin** Dom 28 Mar 2021, 11:53

I) (1 + cotg²x).(1 - cotg²x) = 1 ∀ x ∈ ℝ, x ≠ k.π, k ∈ ℤ

cotgx = cosx/senx ---> Restrição: senx ≠ 0 ---> x ≠ k.pi

(1 + cos²x/sen²x).(1 - cos²x/sen²x) = 1 ---> [(sen²x + cos²x)/sen²x].[(sen²x - cos²x)/sen²x] = 1

(1/sen²x).[sen²x - (1 - sen²x)]/sen²x] = 1 ---> (1/sen²x).(2.sen²x - 1)/sen²x] = 1 --->

(2.sen²x - 1) = (sen²x)² ---> (sen²x)² - 2.sen²x + 1 = 0 ---> (sen²x - 1)² ---> senx = ± 1

x = pi/2 ou x = 3.pi/2 ---> x = pi/2 + k.pi

II [1 + sec(4x)] = 2.sec²x + tan⁴x, ∀ x ∈ ℝ, x ≠ (π/2) + kπ, k ∈ ℤ ---> Restrições

sec(4.x) = 1/cos(4x) ---> cos(4x) ≠ 0 ---> x ≠ pi/2 + k.pi

Idem para sec²x = 1/cos²x e tg²x = sen²x/cos²x

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