UFJF-2021 Polinômios

por Nubia Amaral Qui 11 Mar 2021, 14:15

(Ufjf 2021) Suponha que existem um único [size=32][latex]X> 8[/latex] [/size]e uma fatoração do polinômio [size=32][latex]P(x)=x^{3}-18x^{2}+104x -192[/latex][/size] em fatores lineares distintos para expressar o produto de três inteiros positivos. Seja r um desses inteiros. Sabemos que [size=32][latex]r+8[/latex][/size] é raiz do polinômio
[size=32][latex]D(x)= p(x)-48[/latex] [/size]e que D(x) é divisível por [size=32][latex]x-10[/latex][/size] , encontre o menor entre esses três números.
A) 24
B) 12
C) 8
D) 2
E) 1

por **Renan Almeida** Sáb 13 Mar 2021, 20:10

D(x) = x³ - 18x² + 104x - 240

(x³ - 18x² + 104x - 240)/(x-10) = (x² - 8x + 24)

(x-10)(x² - 8x + 24) = 0
x - 10 =0
x = 10

x² - 8x + 24 = 0(não possui raízes reais)

r + 8 = 10
r = 2

Fatorando p(x):
Uma das raízes é x=4
p(x) = (x-4)(x-14x+48)
p(x) = (x-4)(x-6)(x- Cool

x - 8 = r
x = 10

(x-4) e (x-6) não podem ser = r, pois x>8.

(10-4)(10-6)(10- Cool

6*4*2

Portanto o menor dos fatores é 2 (D).

Eu não tenho muita experiência com questões sobre polinômios, então acabei achando uma das raízes de p(x) por tentativa e erro. Se houver alguma outra maneira de resolver essa questão, ficaria feliz se alguém me mostrasse.

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