UEPG PSS III (2020/2021) POLINÔMIOS

Sabendo que a, b, c, d são as raízes da equação x^4 – 2x^3 – 9x^2 + 2x + 8 = 0, assinale o que for correto. 
01) 1/a + 1/b + 1/c + 1/d = − 1/4 .
02) log  (abcd) é um número primo. 
          2 
04) a^2 + b^2 + c^2 + d^2 é um número múltiplo de dois. 
08) ab + ac + ad + bc + bd + cd é um número positivo.

Gostaria de uma explicação detalhada da proposição número 04, se possível. Muito obrigado

Olá thiagobelem;

Existem diversas formas de desenvolver a questão, pode recorrer a teoria polinomial e resolver por sistemas, optei pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos que para x = 1 uma solução, logo:



Ou seja, o polinômio pode ser reescrito sendo f(x) = x³-x²-10x-8. Testando para x = -1 vemos que também é raiz, aplicando novamente Briot-Ruffini, temos que:



Ou seja, novamente podemos reescrever o polinômio sendo g(x) = x²-2x-8. Resolvendo a quadrática, temos que para g(x) = 0:



Portanto:

a = 1 
b = -1
c = -2
d = 4

Da sua dúvida:

04) a² + b² + c² + d² é um número múltiplo de dois.



Conclui-se que trata-se de um número múltiplo de dois. Espero ter ajudado!

Outro caminho, sem calcular as raízes: basta usar as Relações de Girard:

a + b + c + d = 2

a.b + a.c + a.d + b.c + b.d + c.d = - 9

a.b.c + a.b.d + a.c.d + b.c.d = - 2

a.b.c.d = 8

01) 1/a + 1/b + 1/c + 1/d = (a.b.c + a.b.d + a.c.d + b.c.d)/a.b.c.d = (-2)/8 = - 1/4 ---> correta

02) log₂(a.b.c.d) = log₂(8) = log₂(2³) = 3 ---> correta

04) (a + b + c + d)² = a² + b² + c² + d² + 2.(a.b + a.c + a.d + b.c + b.d + c.d) --->

(2)² = a² + b² + c² + d² + 2.(-9) --> 4 = a² + b² + c² + d²  - 18 --->  a² + b² + c² + d² = 22 ---> correta

08) a.b + a.c + a.d + b.c + b.d + c.d = - 9 ---> Falso