IME- 2016

Seja [latex]f(x)=\sqrt{\left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+\left | x-3 \right |+...+\left | x-2017 \right |}[/latex]. O valor mínimo de f(x)está no intervalo:




a)(-\infty ; 1008]
b)(1008;1009]
c)(1009;1010]
d)(1010;1011]
e)(1011;+\infty)




Gabarito: b)

No radical temos uma soma de 2017 termos

|x-1| + |x-2| + ...... + |x-1008| + |x-1009| + ...... + |x -2016| + |x-1017|

O valor mínimo de f(x) ocorre no ponto médio (1008, 1009)

Isto pode ser demonstrado matematicamente de modo similar a este:

Temos um arame de comprimento L e devemos dividi-lo em duas partes: x e L-x
Qual deve ser o valor de x para que o produto dos valores das duas partes seja mínimo:

P = x.(L - x) ---> P = - x² + L.x ---> Parábola com a concavidade voltada para baixo.

O valor mínimo de P ocorre no vértice: xV = - L/2.(-1) ---> xV = L/2

O arame deve ser cortado exatamente no seu ponto médio