Raízes da função

por Cristina Lins Sex 01 Jan 2021, 20:44

Encontre todas as raízes da equação x = [2 - (2 + x)^0,5]^0,5. A Soma dessas raízes com seus inversos é o número real:
a) (2^0,5)/2
b) 2^0,5
c) 3^0,5
d) 5^0,5
e) 10^0,5

por **Elcioschin** Sex 01 Jan 2021, 21:32

x = [2 - (2 + x)^0,5]^0,5 ---> x² = 2 - (2 + x)^0,5 ---> (2 + x)^0,5 = 2 - x²

2 + x = (2 - x²)² ---> x⁴- 4.x² - x + 2 = 0

Teorema das raízes racionais:

As possíveis raízes racionais, se existirem, são -2, -1, 1, 2

Testando com Briott- Ruffini, vê-se que x = -1 e x = 2 são raízes:

__|1 0. -4 -1 2
-1|1 -1 -3 .2. 0
.2|1 .1. -1 0

O quociente da divisão restante x² + x - 1 = 0 ---> As duas outras raízes são:

x = (-1 + √5)/2 e x = (-1 - √5)/2

Soma das raízes: S' = - 1 + 2 + (-1 + √5)/2 + (-1 - √5)/2 ---> S' = 0

Soma dos inversos das raízes: S" = - 1 + 1/2 + 2/(-1 + √5) + 2/(-1 - √5)

Calcule S" e depois S = S' + S"

por Cristina Lins Sáb 02 Jan 2021, 08:13

Bom dia, segue foto do enunciado

por **Elcioschin** Sáb 02 Jan 2021, 09:57

Refiz minha solução e deixei os cálculos finais para você fazer.
Confira minhas contas, por favor, e complete.

Outro modo de fazer, sem calcular as raízes de x⁴ + 0.x³ - 4.x² - x + 2 = 0

Sejam r, s, t, u as raízes. Pelas Relações de Girard:

r + s + t + u = 0 ---> Conferiu com S'

r.s + r.t + r.u + s.t + s.u + t.u = - 4

r.s.t + r.s.u + r.t.u + s.t.u = 1

r.s.t.u = 2

S = (r + s + t + u) + (1/r + 1/s + 1/t + 1/u)

S = (r + s + t + u) + (r.s.t + r.s.u + r.t.u + s.t.u)/r.s.t.u

Complete

por Cristina Lins Sáb 02 Jan 2021, 11:41

Boa tarde
Cheguei nas suas raízes, mas S" me deu 1/2. Logo S = 1/2. não tem esta resposta.

por **Giovana Martins** Dom 03 Jan 2021, 09:29

Eu não cheguei a fazer as contas (fiz no olhômetro), mas talvez uma outra saída seja por substituição trigonométrica. Veja

À esquerda da equação: x ≥ 0 e à direita: x + 2 ≥ 0, logo x ≥ -2. Seja θ ∈ [0,∏/2] tal que x=2cos(θ). Eu fiz um esboço aqui mas parece que eu errei alguma conta no meio do caminho. Eu pelo menos estava esperando chegar numa outra equação quando eu fiz. Por favor, verifique as contas (ao longo delas eu fui usando as propriedades do arco metade. Qualquer coisa eu volto aqui a noite, com mais tempo, para tentar resolver caso esta seja uma possível saída.

[latex]\\x=\sqrt{2-\sqrt{ 2+x }}\to 2cos(\theta )=\sqrt{2-\sqrt{2+2cos(\theta )}}\\\\ 2cos(\theta )=\sqrt{2-\sqrt{2[1+cos(\theta ) ]} }\to 2cos(\theta )=\sqrt{2-2cos\left ( \frac{\theta }{2} \right )}\\\\2cos(\theta )=\sqrt{2\left [1-cos\left ( \frac{\theta }{2} \right ) \right ]}\to 2cos(\theta )=\sqrt{4sen^2\left ( \frac{\theta }{4 } \right )}\\\\cos(\theta )=sen\left ( \frac{\theta }{4 } \right )\to sen\left ( \frac{\pi }{ 2}-\theta \right )=sen\left ( \frac{\theta }{4 } \right )[/latex]

por **Leonardo Mariano** Dom 03 Jan 2021, 11:23

Eu resolvi da mesma maneira que o Mestre Elcio, mas retirando as raízes inválidas que foram inseridas quando a equação foi elevada ao quadrado:

[latex] x^4 -4x^2 -x+2 = 0 \rightarrow x = \left \{ -1, 2, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \right \} [/latex]

Verificando as raízes na equação original e também com as condições de existência, apenas [latex] \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} [/latex] satisfaz.

Soma:
[latex] \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1}{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}} \rightarrow \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{2}{-1 + \sqrt{5}} . \frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}} \rightarrow \\ \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{2(1 + \sqrt{5})}{5 - 1} \rightarrow \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \rightarrow \\ \frac{2 \sqrt{5}}{2} \rightarrow \sqrt{5} [/latex]