Trigonometria

por ruanramos Qua 02 Dez 2020, 17:01

Para que a equação senx + cosx = k seja verdadeira, deve se ter:

gab -√2 ≤k≤ √2

por pepelinear Qua 02 Dez 2020, 17:08

sen x + cos x = k. Multiplicando tudo por √2/2:
√2/2.sen x + √2/2.cos x = √2/2.k

Mas √2/2 = cos 45 = sen 45. Portanto, pode-se reescrever a equação de cima:
sen x.cos 45 + cos x.sen 45 = √2/2.k
Mas sen x.cos 45 + cos x.sen 45 = sen (45 + x). Assim:
sen (45 + x) = √2/2.k. Como o valor de sen (45 + x) é limitado entre -1 e 1, isto implica que o valor de √2/2.k deverá ser limitado entre - 1 e 1. Matematicamente:

- 1 ≤ √2/2.k ≤ 1. Multiplicando a desigualdade por √2:
- √2 ≤ k ≤ √2

por ruanramos Qua 02 Dez 2020, 17:14

pepelinear escreveu:sen x + cos x = k. Multiplicando tudo por √2/2:
√2/2.sen x + √2/2.cos x = √2/2.k

Mas √2/2 = cos 45 = sen 45. Portanto, pode-se reescrever a equação de cima:
sen x.cos 45 + cos x.sen 45 = √2/2.k
Mas sen x.cos 45 + cos x.sen 45 = sen (45 + x). Assim:
sen (45 + x) = √2/2.k. Como o valor de sen (45 + x) é limitado entre -1 e 1, isto implica que o valor de √2/2.k deverá ser limitado entre - 1 e 1. Matematicamente:

- 1 ≤ √2/2.k ≤ 1. Multiplicando a desigualdade por √2:
- √2 ≤ k ≤ √2

Boa tarde!!!
sua resolução ficou muito boa!!
Você utilizou a resposta para chegar nela?
gostaria de saber se teria como chegar sem ser esse método, porque é meio incerto eu sacar esse √2 do nada e chegar a resposta. Segue como eu tentei fazer sem ser pela resposta:

(cosx + senx)²=k² => 1+sen2x = k² porem na saio disso.....
Desde já agradeço quem puder ajudar!!!

por pepelinear Qua 02 Dez 2020, 17:59

Na verdade essa é uma transformação trigonométrica relativamente famosa. Eu saquei que seria vantajoso multiplicar por √2/2 por intuição e por ter feito exercícios parecidos antes, mas um jeito mais correto e elegante seria do jeito explicado pelo mestre Victor nesse tópico:
https://pir2.forumeiros.com/t174557-valor-maximo-de-uma-funcao-trigonometrica

por pepelinear Qua 02 Dez 2020, 18:08

O jeito que você pensou também é muito interessante e inclusive bem mais prático que o meu. Como você disse, elevando os dois lados ao quadrado, caímos em
1 + sen2x = k² → sen2x = k² - 1.
-1 ≤ sen2x ≤ 1 → -1 ≤ k² - 1 ≤ 1 → 0 ≤ k² ≤ 2. Qualquer número real ao quadrado é maior ou igual a zero, portanto só precisamos nos preocupar com a desigualdade da direita: k² ≤ 2 → - √2 ≤ k ≤ √2

por ruanramos Qua 02 Dez 2020, 18:12

uhmmm compreendi o que eu deveria ter feito, agradeço a ajuda e atenção, muito boa a forma de pensar do link que mandou, realmente "chic".

Forte abraço!!!!

por **Elcioschin** Qua 02 Dez 2020, 18:14

Outro modo:

senx + cosx = k ---> Elevando ao quadrado?

(senx + cosx)² = k² ---> (sen²x + cos²x) + 2.senx.cosx = k² ---> 1 + sen(2.x) = k²

sen(2.x) = k² - 1

- 1 ≤ k² - 1 ≤ 1 ---> 0 ≤ k² ≤ 2 ---> Como k é real k² é sempre positivo (não serve para nada)

Resta k² ≤ 2 ---> k² - 2 ≤ 0

Temos uma parábola com a concavidade voltada para cima e com raízes x' = -√2 e x" = √2

Ela é negativa entre as raízes e nula nas raízes ---> -√2 ≤ x ≤ √2

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