definicao precisa de limite

por Jorge Marcelo Da Costa Seg 16 Nov 2020, 20:30

demonstre que [latex]\lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}[/latex]

por Lucas_DN684 Sáb 12 Ago 2023, 02:51

Desconsiderar:

[latex]{\color{Red} \lim_{x \to 2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0 \mid 0< \left | x-2 \right |< \delta \Rightarrow \left | \frac{1}{x}-\frac{1}{2} \right |< \varepsilon \\\\ \therefore \left | \frac{1}{x}-\frac{1}{2} \right |< \varepsilon \Leftrightarrow \left | x-2 \right |< \left | 2x \right |\varepsilon =\delta \, \, \, \left ( C.Q.D. \right )}[/latex]

por **tales amaral** Sáb 12 Ago 2023, 14:47

Lucas_DN684 escreveu:[latex]\lim_{x \to 2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0 \mid 0< \left | x-2 \right |< \delta \Rightarrow \left | \frac{1}{x}-\frac{1}{2} \right |< \varepsilon \\\\ \therefore \left | \frac{1}{x}-\frac{1}{2} \right |< \varepsilon \Leftrightarrow \left | x-2 \right |< \left | 2x \right |\varepsilon =\delta \, \, \, \left ( C.Q.D. \right )[/latex]

Você fez [latex]\delta = |2x| \cdot \varepsilon[/latex]? Delta não pode depender de x pale

por Lucas_DN684 Dom 13 Ago 2023, 01:58

tales amaral escreveu:
Lucas_DN684 escreveu:[latex]\lim_{x \to 2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0 \mid 0< \left | x-2 \right |< \delta \Rightarrow \left | \frac{1}{x}-\frac{1}{2} \right |< \varepsilon \\\\ \therefore \left | \frac{1}{x}-\frac{1}{2} \right |< \varepsilon \Leftrightarrow \left | x-2 \right |< \left | 2x \right |\varepsilon =\delta \, \, \, \left ( C.Q.D. \right )[/latex]
Você fez [latex]\delta = |2x| \cdot \varepsilon[/latex]? Delta não pode depender de x

Você tem razão, não faz sentido supor que existe um delta e dá-lo literalmente; vai contra a hipótese.

Queremos provar:

[latex]\lim_{x \to 2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0 \mid 0< \left | x-2 \right |< \delta \Rightarrow \left | \frac{1}{x}-\frac{1}{2} \right |< \varepsilon [/latex]

Então:

[latex]\left | \frac{1}{x} -\frac{1}{2} \right |< \varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{2}-\varepsilon < \frac{1}{x}< \varepsilon +\frac{1}{2}[/latex]

E seja:

[latex]0<{\varepsilon}'=\left\{\begin{matrix} {\varepsilon}'=\varepsilon,\, 0<\varepsilon<\frac{1}{2} \\ \\ 0< {\varepsilon}'< \frac{1}{2},\, \varepsilon \geq \frac{1}{2} \end{matrix}\right.[/latex]

Temos que:

[latex]\frac{1}{2}-\varepsilon \leq \frac{1}{2}-{\varepsilon}'< \frac{1}{x}< \frac{1}{2}+{\varepsilon}'\leq \frac{1}{2}+\varepsilon \Rightarrow \\\\\Rightarrow 0<\frac{1}{2}-{\varepsilon}'< \frac{1}{x}< \frac{1}{2}+{\varepsilon}'\Rightarrow \frac{4{\varepsilon}'}{1-2{\varepsilon}'}> x-2>\frac{-4{\varepsilon}'}{1+2{\varepsilon}'}\Rightarrow \\\\\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left | x-2 \right |< \frac{4{\varepsilon}'}{1-2{\varepsilon}'}\\ e \\ \left | x-2 \right |< \frac{-4{\varepsilon}'}{1+2{\varepsilon}'} \end{matrix}\right. \therefore \delta =min \left \{ \frac{4{\varepsilon}'}{1+2{\varepsilon}'}, \frac{4{\varepsilon}'}{1-2{\varepsilon}'} \right \}\Leftrightarrow \delta = \frac{4{\varepsilon}'}{1+2{\varepsilon}'}\\\therefore \forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0 \mid 0< \left | x-2 \right |< \delta = \frac{4{\varepsilon}'}{1+2{\varepsilon}'} \Rightarrow \left | \frac{1}{x}-\frac{1}{2} \right |< {\varepsilon}'\leq \varepsilon [/latex]

Não é à toa que evita-se tanto usar a definição... Laughing