Lançamento Vertical

por Klzz Ter 25 Ago 2020, 21:44

Dois Móveis A e B são lançados verticalmente para cima, com a mesma velocidade inicial v0, do mesmo ponto. O móvel A é lançado no instante t=0s e o móvel B é lançado x segundos depois (o móvel A ainda não retornou para a altura inicial). Adote g como sendo a aceleração da gravidade local e mostre que, a contar do ponto de lançamento, a posição do encontro dos móveis é Lançamento Vertical MqahKv7ge7Lmx+3yWr4WDSPkTwX+TN8jhotQdPzrflsRJp4TNkb8H0FHznuy6EmXAAAAAElFTkSuQmCC

Lançamento Vertical MqahKv7ge7Lmx+3yWr4WDSPkTwX+TN8jhotQdPzrflsRJp4TNkb8H0FHznuy6EmXAAAAAElFTkSuQmCC

por iccarus Qui 27 Ago 2020, 14:31

Boa tarde, fica aqui minha resolução:

O movimento em questão é um lançamento vertical no vácuo, dessa forma, sabemos que pertence ao grupo de movimentos uniformemente acelerados (MUV), que possuem a equação horária da posição da seguinte forma:

[latex]s_a (t) = s_0 + v_0t + \frac{\alpha t^2}{2}[/latex]
[latex]s_b (t) = s_0 + v_0(t-x) + \frac{\alpha (t-x)^2}{2}[/latex]
(Onde x é o instante de tempo onde o lançamento de B foi realizado. Dessa forma, ambas funções são em função de t.)

Sabemos que:
[latex]\alpha = -g [/latex]

Portanto:
[latex]s_a (t) = s_0 + v_0t - \frac{g t^2}{2}[/latex]
[latex]s_b (t) = s_0 + v_0(t-x) - \frac{g (t-x)^2}{2}[/latex]

Para descobrirmos o valor de t (em função de x), podemos igualar as equações horárias da posição:

[latex]s_a(t) = s_b(t)[/latex]

[latex]s_0 + v_0t - \frac{g t^2}{2} = s_0 + v_0(t-x) - \frac{g (t-x)^2}{2} [/latex]

Desenvolvendo:

[latex]v_0t - \frac{g t^2}{2} = v_0(t-x) - \frac{g (t-x)^2}{2} [/latex]

[latex]v_0t - \frac{g t^2}{2} = v_0t - v_0x- \frac{g (t-x)^2}{2} [/latex]

[latex]- \frac{g t^2}{2} = - v_0x- \frac{g (t-x)^2}{2} [/latex]

[latex]- \frac{g t^2}{2} = - v_0x- \frac{g (t^2 -2xt +x^2)}{2} [/latex]

[latex]- \frac{g t^2}{2} = - v_0x- \frac{gt^2 +2gxt -gx^2}{2} [/latex]

[latex]0 = - v_0x + \frac{ 2gxt -gx^2}{2} [/latex]

[latex]2v_0x = { 2gxt -gx^2}{} [/latex]

[latex]2gxt = 2v_0x + gx^2 [/latex]

[latex]t = \frac{2v_0x + gx^2}{2gx}[/latex]

[latex]t = \frac{2v_0+ gx}{2g}[/latex]

Substituindo o instante de tempo obtido em qualquer equação horária da posição, obtemos:

[latex]s_a(\frac{2v_0 + gx}{2g}) = v_0(\frac{2v_0 + gx}{2g}) - \frac{g}{2}(\frac{2v_0 + gx}{2g})^2[/latex]

[latex]s_a(\frac{2v_0 + gx}{2g}) = \frac{2v_0^2 + v_ogx}{2g} - \frac{g}{2}(\frac{4v_0^2 + 4v_0gx + g^2x^2}{4g^2}[/latex]

[latex]s_a(\frac{2v_0 + gx}{2g}) = \frac{2v_0^2 + v_ogx}{2g} - (\frac{4v_0^2 - 4v_0gx - g^2x^2}{8g}[/latex]

[latex]s_a(\frac{2v_0 + gx}{2g}) = \frac{8v_0^2 + 4v_ogx - 4v_0^2 - 4v_0gx - g^2x^2}{8g}[/latex]

[latex]s_a(\frac{2v_0 + gx}{2g}) = \frac{4v_0^2 - g^2x^2}{8g}[/latex]

[latex]s_a(\frac{2v_0 + gx}{2g}) = \frac{{v_o}^2}{2g} - \frac{gx^2}{8}[/latex]

Este será a posição quando os corpos se encontrarem, acredito que o gabarito esteja errado, pois, dependendo das condições, pode ser um número negativo, já que você subtrai a altura máxima (cuja fórmula é [latex]\frac{{v_o}^2}{2g}[/latex]) de outro número. Isto é, para o número ser positivo e fazer sentido, a altura [latex]\frac{gx^2}{8}[/latex] deve ser maior do que a altura máxima.

Lançamento Vertical

Lançamento Vertical

Lançamento Vertical

Um fórum livre e democrático.