Questão desafio sobre coordenadas polares

Boa tarde, vocês poderiam me mostrar como resolver essa questão?

Seja PQ um segmento de reta de comprimento constante, igual a 2a, o qual se move no plano de maneira que suas extremidades deslizam sobre o eixo-x e eixo-y (ver figura). Seja C o lugar geométrico do ponto M, projeção ortogonal de O sobre segmento móvel PQ. Tomando O como pólo e o semi-eixo positivo como eixo polar, a equação de C em coordenada polares é:








a)ρ=a2cos2θ.

b)ρ2=acosθ.
c)ρ=asin(2θ).
d)ρ=a2−sin2θ.
e) Nenhuma das respostas anteriores.

Observe a figura:



i)Pelo ∆OMP, temos:

[latex]\left\{\begin{matrix} k^2+\rho ^2=y^2\\ \\ \cot \alpha =\frac{k}{\rho } \end{matrix}\right.[/latex]

ii)Pelo ∆OMQ, temos:

[latex]\left\{\begin{matrix} k'^2+\rho ^2=x^2\\ \\ \tan \alpha =\frac{k'}{\rho } \end{matrix}\right.[/latex]

iii)Portanto,

[latex]\left ( k^2+k'^2 \right ) + 2\rho ^2 = x^2+y^2[/latex]

[latex]\rho^2 \cdot \left ( \cot^2{\alpha } + \tan ^2{\alpha }\right ) + 2\rho ^2 = 4a^2[/latex]

[latex]\rho^2 \cdot \left ( \cot^2{\alpha } + 1\right ) + \rho ^2\cdot \left ( \tan ^2{\alpha } + 1 \right ) = 4a^2[/latex]

[latex]\rho^2 \cdot \csc ^2{\alpha } + \rho ^2\cdot \sec ^2{\alpha } = 4a^2[/latex]

[latex]\rho^2 \cdot \left (\csc ^2{\alpha } + \sec ^2{\alpha } \right ) = 4a^2[/latex]

[latex]\rho^2 \cdot \csc ^2{\alpha }\cdot \sec ^2{\alpha } = 4a^2[/latex]

[latex]\rho^2 = 4a^2\cdot \sin ^2{\alpha }\cdot \cos ^2{\alpha }[/latex]

[latex]\rho^2 = a^2\cdot \sin ^2{2\alpha }[/latex]

[latex]\rho = a\cdot \sin {2\alpha }[/latex]

Letra C)

Grande Lucius Draco, muitíssimo obrigado!