Questão Ita - Geometria Plana
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Questão Ita - Geometria Plana
por senderro Qui 02 Jul 2020, 23:29
Um triângulo ABC está inscrito num círculo de raio 2√3. Sejam a, b e c os lados opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente. Sabendo que a= 2√3 e (A, B e C) é uma progressão aritmética, calcule os lados e os ângulos do triângulo inscrito.
Resposta:
lados: 2√3, 4√3 e 6
ângulos: 30°, 60° e 90°
Resposta:
lados: 2√3, 4√3 e 6
ângulos: 30°, 60° e 90°
Última edição por senderro em Sex 03 Jul 2020, 00:26, editado 1 vez(es)
senderro- Iniciante
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Re: Questão Ita - Geometria Plana
por Rory Gilmore Qui 02 Jul 2020, 23:48
I) Aplicando a Lei dos senos:
2√3/sen A = b/sen B = c/sen C = 4√3
sen A = 0,5 (existem duas possibilidades A = 30º ou A = 150º.)
II) Seja r a razão da progressão aritmética. Reescrevemos a P.A. como(B - r, B, B + r) e somando os termos temos:
B - r + B + B + r = 180
3B = 180
B = 60º
Como B é 60º, sabemos agora que A pode ser apenas = 30º e consequentemente C = 90º.
III) Aplicando novamente a Lei dos senos:
b/√3/2 = 4√3
b = 6
c/1 = 4√3
c = 4√3
2√3/sen A = b/sen B = c/sen C = 4√3
sen A = 0,5 (existem duas possibilidades A = 30º ou A = 150º.)
II) Seja r a razão da progressão aritmética. Reescrevemos a P.A. como(B - r, B, B + r) e somando os termos temos:
B - r + B + B + r = 180
3B = 180
B = 60º
Como B é 60º, sabemos agora que A pode ser apenas = 30º e consequentemente C = 90º.
III) Aplicando novamente a Lei dos senos:
b/√3/2 = 4√3
b = 6
c/1 = 4√3
c = 4√3
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Re: Questão Ita - Geometria Plana
por Medeiros Sex 03 Jul 2020, 04:21
Podemos também considerar:
se o lado a = R, então a é lado do hexágono regular inscrito e portanto o ângulo  = 30°.
na sequência podemos adotar o item (II) da Rory ou fazer
 +  + r +  + 2r = 180° -----> r = 30° ===> ^B = 60° e ^C = 90°
e novamente a lei dos senos para obter a medida dos lados b e c.
se o lado a = R, então a é lado do hexágono regular inscrito e portanto o ângulo  = 30°.
na sequência podemos adotar o item (II) da Rory ou fazer
 +  + r +  + 2r = 180° -----> r = 30° ===> ^B = 60° e ^C = 90°
e novamente a lei dos senos para obter a medida dos lados b e c.
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