Polinômios

Quando é que pode usar a derivada ? No Fundamentos da matemática elementar essa parte fica com raízes múltiplas. Só pode usar quando tem raízes múltiplas ?

Não entendi sua pergunta. Derivadas não tem nada a ver com raízes.

Existem funções que não tem raízes reais mas possuem derivada. 
Por exemplo a função y = e^x não tem raízes reais, mas tem derivada.
E a função y = x² - 2.x + 4 não tem raízes reais, mas tem derivada.

Se você se refere a uma função polinomial, toda função função polinomial tem derivadas e as derivadas não tem nada a ver com as raízes da função, múltiplas ou não.

Esse tal de teste da derivada. 
Se a derivada vai "descer" um grau, por que utilizar o Briot-Ruffini ?

O polinômio é do 4º grau, logo, tem 4 raízes.
Inicialmente, com a fatoração, provou-se que x = 0 é uma raiz.

Foi dito também que o polinômio tem uma raiz dupla. 
Existem diversos modos para se calcular as raízes:

x³ + 0.x² - 75.x + 250 = 0 ---> Raízes r, r, s

1) Usando Girard

r + r + s = 0 ---> s = - 2.s ---> I
r.r + r.s + r.s = - 75 ---> r² + 2.r.s = - 75 ---> II
r.r.s = -250 ---> r².s = -250 ---> III 

I em II ---> r² + 2.r.(-2.r) = - 75 ---> -3.r² = - 75 ---> r = 5

Em III ---> 5².s = - 250 ---> s = - 10  


2) Teorema das raízes racionais:

Divisores de 250: ± 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250

3) Método da derivada 1ª para raiz dupla que foi mostrado encontrou raiz dupla x = 5

Isto significa que o polinômio é divisível por (x - 5)² = x² - 10.x + 25. Para encontrar a última raiz existem 3 métodos: 

I) Método da chave: Divide P(x) por x² - 10.x + 25
II) Método dos coeficientes a determinar (pesquise)
III) Algoritmo de Briott-Ruffini: aplica para raiz dupla r = 5
.

Bom o que ele chamou de teste da derivada para raízes múltiplas é feito da seguinte forma:

pegue um polinômio Q(x) com raiz dupla r.

[latex]Q(x)=(x-r)^2\cdot Z(x)[/latex]

Agora derive:

[latex]Q'(x)=2(x-r)\cdot Z(x) + (x-r)^2\cdot Z'(x)[/latex]

[latex]Q'(x)=(x-r)\cdot \left [2\cdot Z(x) + (x-r)\cdot Z'(x) \right ][/latex]

Com isso temos que a derivada de Q(x) tem a raiz r.




Logo, quando o polinômio Q(x) tiver raiz dupla, sua derivada terá também essa raiz.

Lucius Draco, sua resposta bugou

Marlon

O colega Lucius Draco demonstrou, muito bem, que se o polinômio tem uma raiz dupla, a derivada do mesmo indica as possíveis raízes.

Mas esta propriedade vale para raízes triplas, quádruplas, ..., nuplas. Veja:

Q(x) = (x - r)ⁿ.Z(x)

Q'(x) = n.(x - r)^n-1.Z(x) + (x - r)ⁿ.Z'x

Q'(x) = (x - r)^n-1.[n.Z(x) + (x - r).Z'(x)

Conclusão: r é raiz de Q(x)
.