Teorema de Green

Relembrando a primeira mensagem :

1. Seja C a curva parametrizada por

[latex]\sigma (t) = (2cos^3t, 2sen^3t), 0\leqslant t\leqslant \Pi [/latex]

a) Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região D delimitada pela curva C e pelo eixo x.


b) Calcule
[latex]\int_{C} (xy^5 + 6x^2)dx + (4x + seny)dy[/latex]



Como posso usar o Teorema de Green na letra a se não tenho F1 e F2?
E na letra b, quais seriam os limites de integração para
[latex]\iint_{A} (4-5xy^4)dA[/latex]

mauk03 escreveu:Sim, vc está certo, tem que ser uma curva fechada. Mas uma forma mais simples de se resolver, sem fazer o uso de uma segunda curva, seria calcular a integral com 't' variando de 0 até 2*pi (o que equivaleria a área da Astroide inteira) e dividir a integral por 2 (resultando na área da parte de cima da Astroide).

Mas aí a região de integração circundaria a origem, exigindo uma nova parametrização de uma curva ao redor da origem, no sentido horário.

mauk03 escreveu:

Johnchefin escreveu:

mauk03 escreveu:Na letra B, assim como na letra A, fica mais simples resolver a integral de linha mesmo (e, portanto, sem precisar utilizar o teorema de Green). Bastaria substituir x e y pelas suas funções em t e usar limitantes 0<=t<=pi na integral.

Na b se substituir, para fazer a integral de linha sem o Teorema ficaria gigantesca

Código:

[latex]\int_{0}^{\Pi } (64cos^3tsen^{15}t+24cos^6t,8cos^3t+sen(2sen^3t))(-6cos^2tsent,6sen^2tcost)dt[/latex]

 
Realmente, a integral fica bem complexa, inclusive com um função trigonométrica dentro da outra. Vou tentar resolver-la por conta própria (com e sem teorema de Green) e, caso consiga, deixo a solução aqui depois.

Usando o Teorema, daria para fazer por mudança de variáveis, já que a curva já está parametrizada, o t indo de 0 a pi, e o r indo de 0 até a curva, mas qual limite colocar?

Código:

[latex]0\leqslant r \leqslant 2cos^3t+2sen^3t ?[/latex]

Johnchefin escreveu:Mas aí a região de integração circundaria a origem, exigindo uma nova parametrização de uma curva ao redor da origem, no sentido horário.

Não sei se entendi o que vc quis dizer.

A área de uma astroide completa é calculada dessa forma (com integral de t variando 0 à 2*pi):

https://www.youtube.com/watch?v=Y2M6jYkS6b8

https://math.stackexchange.com/questions/428246/calculating-area-of-astroid-x2-3y2-3-a2-3-for-a0-using-greens-th

mauk03 escreveu:

Johnchefin escreveu:Mas aí a região de integração circundaria a origem, exigindo uma nova parametrização de uma curva ao redor da origem, no sentido horário.

Não sei se entendi o que vc quis dizer.

A área de uma astroide completa é calculada dessa forma (com integral de t variando 0 à 2*pi):

https://www.youtube.com/watch?v=Y2M6jYkS6b8

https://math.stackexchange.com/questions/428246/calculating-area-of-astroid-x2-3y2-3-a2-3-for-a0-using-greens-th

Mas o Teorema de Green não está definido na origem

Johnchefin escreveu:Mas o Teorema de Green não está definido na origem

Mas nesse caso (do cálculo da área da astroide) não se está usando o teorema de Green da forma que esta sendo feito neste exercício (creio eu), pois não há um procedimento de se utilizar o teorema para converter uma integral de linha em uma integral dupla. O que está sendo feito, na verdade, é apenas usar o conceito do cálculo da área envolvida por uma curva, em forma de integral dupla, de modo a se obter funções P e Q para realizar o cálculo da integral de linha.

Na pagina 17 do PDF abaixo contém um material do IME da Unicamp, descrevendo esse procedimento:
https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA211/Aula20.pdf

Mas de qualquer forma, recomendo que vc tire essa dúvida com seu professor de matemática, que certamente tem um embasamento teórico bem melhor que o meu.

mauk03 escreveu:

Johnchefin escreveu:Mas o Teorema de Green não está definido na origem

Mas nesse caso (do cálculo da área da astroide) não se está usando o teorema de Green da forma que esta sendo feito neste exercício (creio eu), pois não há um procedimento de se utilizar o teorema para converter uma integral de linha em uma integral dupla. O que está sendo feito, na verdade, é apenas usar o conceito do cálculo da área envolvida por uma curva, em forma de integral dupla, de modo a se obter funções P e Q para realizar o cálculo da integral de linha.

Na pagina 17 do PDF abaixo contém um material do IME da Unicamp, descrevendo esse procedimento:
https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA211/Aula20.pdf

Mas de qualquer forma, recomendo que vc tire essa dúvida com seu professor de matemática, que certamente tem um embasamento teórico bem melhor que o meu.

Saquei, realmente faz sentido...