Teorema de Green

1. Seja C a curva parametrizada por

[latex]\sigma (t) = (2cos^3t, 2sen^3t), 0\leqslant t\leqslant \Pi [/latex]

a) Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região D delimitada pela curva C e pelo eixo x.


b) Calcule
[latex]\int_{C} (xy^5 + 6x^2)dx + (4x + seny)dy[/latex]



Como posso usar o Teorema de Green na letra a se não tenho F1 e F2?
E na letra b, quais seriam os limites de integração para
[latex]\iint_{A} (4-5xy^4)dA[/latex]

Essa letra A creio que seja pra usar o teorema de Green no sentido "inverso" do que usualmente é usado.

No caso, sabe-se que a área delimitada pela curva C é dada por:


A curva C tem equação em (x,y) dada por x^(2/3)+y^(2/3)=2^(2/3), o que resultaria em uma integral dupla bastante complexa para ser resolvida algebricamente. Logo, convém usar o teorema de Green para resolve-la como uma integral de linha, na variável t. Pelo teorema de Green, tem-se que:


A igualdade acima implica em:


Há uma série de funções P(x,y) e Q(x,y) que satisfazem essa ultima equação. Um exemplo é P(x,y)=0 e Q(x,y)=x. Usando esse exemplo, tem-se:


Substituindo x e y por suas funções de t, tem-se:

Na letra B, assim como na letra A, fica mais simples resolver a integral de linha mesmo (e, portanto, sem precisar utilizar o teorema de Green). Bastaria substituir x e y pelas suas funções em t e usar limitantes 0<=t<=pi na integral.

Fiz a letra a de outro modo, peguei uma dica com um professor, deu o mesmo resultado, vou tentar fazer a letra b

mauk03 escreveu:Na letra B, assim como na letra A, fica mais simples resolver a integral de linha mesmo (e, portanto, sem precisar utilizar o teorema de Green). Bastaria substituir x e y pelas suas funções em t e usar limitantes 0<=t<=pi na integral.

Na b se substituir, para fazer a integral de linha sem o Teorema ficaria gigantesca

Código:

[latex]\int_{0}^{\Pi } (64cos^3tsen^{15}t+24cos^6t,8cos^3t+sen(2sen^3t))(-6cos^2tsent,6sen^2tcost)dt[/latex]

E com o teorema minha dúvida é quais limites de integração usar, quando se faz

Código:

[latex]\frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy}

e a integral fica

Código:

\iint_{A}(4-5xy^4)dA[/latex]

Johnchefin escreveu:Fiz a letra a de outro modo, peguei uma dica com um professor, deu o mesmo resultado, vou tentar fazer a letra b

Essa solução é quase igual a minha, só muda que vc escolheu a solução P(x,y)=-y/2 e Q(x,y)=x/2 da equação diferencial .

Johnchefin escreveu:

mauk03 escreveu:Na letra B, assim como na letra A, fica mais simples resolver a integral de linha mesmo (e, portanto, sem precisar utilizar o teorema de Green). Bastaria substituir x e y pelas suas funções em t e usar limitantes 0<=t<=pi na integral.

Na b se substituir, para fazer a integral de linha sem o Teorema ficaria gigantesca

Código:

[latex]\int_{0}^{\Pi } (64cos^3tsen^{15}t+24cos^6t,8cos^3t+sen(2sen^3t))(-6cos^2tsent,6sen^2tcost)dt[/latex]

 
Realmente, a integral fica bem complexa, inclusive com um função trigonométrica dentro da outra. Vou tentar resolver-la por conta própria (com e sem teorema de Green) e, caso consiga, deixo a solução aqui depois.

Johnchefin escreveu:E com o teorema minha dúvida é quais limites de integração usar, quando se faz

Código:

[latex]\frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy}

e a integral fica

Código:

\iint_{A}(4-5xy^4)dA[/latex]

 
Os limitantes da integral seriam -2≤x≤2 e 0≤y≤(2^(2/3)-x^(2/3))^(3/2). O que resultaria numa integral igualmente complexa, já que para resolve-la teria de ser feita uma substituição trigonométrica similar a curva C. Portanto, creio que não seja possível simplificar muito mais essa conta. Se alguém souber, deixe a sua solução aqui pfv.

Fazendo sem o teorema de Green cai naquela integral gigantesca, mas que dá pra resolver.
No termo 6cos(t)sin^2(t)sin(2sin^3(t)), vc poderia fazer uma substituição u=2 sin^3(t). E os demais termos são integrais trigonométricas de produtos de senos e cossenos, para as quais já tem tabelas com soluções disponíveis na internet.

Segue o resultado do wolframalpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+6+cos%28t%29+sin%28t%29+%288+cos%5E3%28t%29+%28-3+cos%5E4%28t%29+%2B+sin%28t%29+-+8+cos%28t%29+sin%5E15%28t%29%29+%2B+sin%28t%29+sin%282+sin%5E3%28t%29%29%29+dt+from+t%3D0+to+pi

mauk03 escreveu:

Johnchefin escreveu:

mauk03 escreveu:Na letra B, assim como na letra A, fica mais simples resolver a integral de linha mesmo (e, portanto, sem precisar utilizar o teorema de Green). Bastaria substituir x e y pelas suas funções em t e usar limitantes 0<=t<=pi na integral.

Na b se substituir, para fazer a integral de linha sem o Teorema ficaria gigantesca

Código:

[latex]\int_{0}^{\Pi } (64cos^3tsen^{15}t+24cos^6t,8cos^3t+sen(2sen^3t))(-6cos^2tsent,6sen^2tcost)dt[/latex]

 
Realmente, a integral fica bem complexa, inclusive com um função trigonométrica dentro da outra. Vou tentar resolver-la por conta própria (com e sem teorema de Green) e, caso consiga, deixo a solução aqui depois.

Ainda na letra a, estive pensando e para poder aplicar o Teorema de Green corretamente teria que fechar a curva e orientar ela positivamente, orientada ela já está, então basta fechar a curva... o resultado é o mesmo, mas o correto seria deste modo, onde γ é o segmento de reta que fecha a região de integração.

Sim, vc está certo, tem que ser uma curva fechada. Mas uma forma mais simples de se resolver, sem fazer o uso de uma segunda curva, seria calcular a integral com 't' variando de 0 até 2*pi (o que equivaleria a área da Astroide inteira) e dividir a integral por 2 (resultando na área da parte de cima da Astroide).