Equação trigonométrica em intervalo determinado

por Guilherme Abel Sex 19 Jun 2020, 18:59

Resolva a equação abaixo para x∈[0,2pi]
(1-tgx)(1+sen2x)=1+tgx
A resposta é:S={3pi/4,7pi/4,0,pi,2pi}

Eu fiz da seguinte forma: (1+sen2x)=(1+tgx)/(1-tgx) e (1+tgx)/(1-tgx)=(1+sen2x)/(cos2x) => 1+sen2x=(1+sen2x)/(cos2x)
logo cos2x=1 => x=kpi => S={0,pi,2pi}
E com isso eu não pude obter a solução. Poderiam indicar meu erro?

por Lucius Draco Sex 19 Jun 2020, 19:34

1+sen2x=(1+sen2x)/(cos2x) o erro está aqui.

há duas possibilidades:

1+sen2x = 0 ou cos2x=1

por **Elcioschin** Sex 19 Jun 2020, 20:22

..................... 1 + tgx
1 + sen(2.x) = ---------
..................... 1 - tgx

.......................... 1 + senx/cosx
1 + 2.senx.cosx = -----------------
.......................... 1 - senx/cosx

.......................... (cosx + senx)/cosx
1 + 2.senx.cosx - ----------------------- = 0
.......................... (cosx - senx)/cosx

(1 + 2.senx.cosx).(cosx - senx) - (cosx + senx)

------------------------------------------------------ = 0
.......................... cosx - senx

Basta igualar o numerador a zero

cosx - senx + 2.senx.cos²x - 2.sen²x.cosx - cosx - senx = 0

2.senx.cos²x - 2.sen²x.cosx - 2.senx = 0 ---> : 2 e senx em evidência:

senx.(cos²x - sen²x - 1) = 0 ---> Duas possibilidades:

1) senx = 0 --- x = 0, pi, 2.pi

2) cos²x - sen²x - 1 = 0 ---> complete