Equação trigonométrica

Resolver a equação: sen mx + sen nx = 0 (m, n E N* )

Gabarito: a) S = { x E R I x = (2kpi)/(m+n) ou x = (+-pi)/(m-n) m diferente de n}

Minha resposta final não esta batendo com o gabarito do livro, minha resolução está sendo:
sen mx + sen nx = 0 --> 2 . sen (x(m+n)/2) . cos (x(m-n)/2) =0

1°possibilidade: sen (x(m+n)/2) = 0 --> x(m+n)/2 = kpi --> x = 2kpi/(m+n)
2°possibilidade: cos (x(m-n)/2) = 0 --> x(m-n)/2 = pi/2 + kpi --> x = (pi + 2kpi)/(m-n)

Minha resposta final: S = { x E R I x = 2kpi/(m+n) ou x = (pi+2kpi)/(m-n), K E Z e m diferente de n}

Não estou vendo onde estou errando, se puder me ajudar eu agradeço.
*Só para atualizar acabei de ver em um pdf do solucionario e o gabarito do solucionario bate com a minha resposta, acredito que foi um erro de digitaçao do gabarito do livro (Fundamentos da matematica elementar - Vol 3 (trigonometria), 6° edição, questão 235).

Transformação de soma em produto (Prostaférese):

senp + senq = 2.sen[(p + q)/2].cos[(p - q)/2]

Fazendo p = m.x e q = n.x 

sen(m.x) + sen(n.x) = 2.sen[(m.x + n.x)/2].cos[(m.x - n.x)/2] = 0

sen(m.x) + sen(n.x) = 2.sen[x.(m+ n)/2].cos[x(m - n)/2] = 0

Existem duas possibilidades:

1) sen[x.(m + n)/2] = 0 ---> x.(m + n)/2 = k.pi ---> x = 2.k.pi/(m + n)

2) cos[x.(m - n)/2] = 0 ---> x.(m - n)/2 = k.pi ± pi/2 ---> 

x = 2.k.pi/(m - n) ± pi/(m - n)

Obrigado Elcioschin