Questão livro do Caio Guimarães

por lucasayub Sáb 11 Abr 2020, 15:24

Sejam x e y reais tais que x^2 + y^2 -6x - 8y +24 = 0 . Determine o máximo valor de x^2 + y^2

Quem possuir o livro é a questão 2.28)

GAB : 36

por **Medeiros** Sáb 11 Abr 2020, 16:05

o gabarito é 36?

por lucasayub Sáb 11 Abr 2020, 16:08

É sim , ficaria muito grato se postasse sua resolução

por **Giovana Martins** Sáb 11 Abr 2020, 16:31

Medeiros, enquanto você mandou a sua mensagem eu já estava digitando. Vou mandar a minha resolução, ok?

Um jeito:

\\x^2+y^2-6x-8y+24=0 \to (x-3)^2+(y-4)^2=1

A seguir, utilizarei a forma paramétrica da circunferência.

\\x=x_0+rcos(\varphi )=3+cos(\varphi )\ \wedge\ y=y_0+rsen(\varphi )=4+sen(\varphi )\\\\\therefore \ x^2+y^2=26+6cos(\varphi )+8sen(\varphi )\to x^2+y^2=26+f(\varphi )

Note que x²+y² será máximo quando f(φ) assumir o seu valor mínimo. Agora eu descobrirei o valor máximo de f(φ) a partir da Desigualdade de Cauchy-Schwarz. É possível também maximizar f(φ) usando o truque do triângulo-retângulo (ver aqui: https://pir2.forumeiros.com/t23519p30-fuvest-seno-cosseno) ou então por derivadas se você souber. Fica a seu gosto.

Questão livro do Caio Guimarães Codec130

por **Medeiros** Sáb 11 Abr 2020, 16:34

lucasayub escreveu:É sim , ficaria muito grato se postasse sua resolução

E todos nós no fórum ficaríamos gratos se você acatasse as normas do fórum e postasse o gabarito junto com a questão.

Questão livro do Caio Guimarães Scree633

por **Medeiros** Sáb 11 Abr 2020, 16:36

Sem problema, Giovana, quanto mais resposta mais rico o fórum.
Quando mandei minha resposta, eu já tinha resolvido; apenas forcei o acatamento às normas do fórum.

por Matheus Pereira Ferreira Sáb 14 Nov 2020, 11:00

medeiros não entendi o porque do 3/5 e do 4/5 e porque o quadrado da soma disso é multiplicado por 1/25

por **Medeiros** Sáb 14 Nov 2020, 21:29

Matheus Pereira Ferreira escreveu:medeiros não entendi o porque do 3/5 e do 4/5 e porque o quadrado da soma disso é multiplicado por 1/25

vamos por partes:

1. o porquê dos 3/5 e 4/5.
está vendo aquele ângulo sinalizado em verde? Pois o cos dele é 3/5 e o sen é 4/5. A reta que parte da origem e passa pelo centro encontra a circunferência em P. Como r=1 e ele também é hipotenusa do triângulo vermelho, os catetos deste serão 3/5 e 4/5.

2. porquê multiplicado por 1/25.
elevando xP e yP ao quadrado seus denominadores serão 25. Colocando esses denominadores em evidência, ficamos com 1/25 -- que multiplica a soma do quadrado dos respectivos numeradores.

E por que eu fiz assim? Fi-lo para indicar o uso do triângulo pitagórico mais famoso e, claro, eu não ia me dar ao trabalho de elevar ao quadrado o 18 e nem o 24. Então raciocinei assim:
- o triângulo pitagórico mais famoso tem lados 3, 4 e 5. E 3² + 4² = 5²
- multiplicando esses lados por 6 ficamos com seu triângulo semelhante de lados 18, 24 e 30. Então 18² + 24² = 30². E 30² é uma conta muito fácil de fazer.
Mas nem essa conta eu fiz. Afinal porque iria dividir 900 por 25? Em vez disso, apenas indiquei e na minha cabeça eu fiz 30×30 ÷ (5×5). Simplificando cada um fico com 6×6 = 36 -- esta sim é uma conta fácil e rápida.