Complexos - Caio Guimarães

Oiii geente, tuuudo beeem?
To com uma duvida num exercício do livro do Caio Guimarães... N entendo/concordo mt com a resolução dele..

"Mostre que se o complexo z = x + y*i pertence à circunferência de raio unitário centrada na origem do plano complexo, com exceção do complexo -1, então z pode ser escrito na forma (1+x+yi)/(1+x-yi)"

pra resolver essa questãoo autor assume q é verdade que z = (1+x+yi)/(1+x-yi) e faz x + yi =(1+x+yi)/(1+x-yi) , desenvolve e chega em outra igualdade, q é verdadeira, tipo a = a... Mas isso é possível logicamente? O q garante que a igualdade seja verdadeira para quaisquer valor de z?..
Por demonstração por absurdoprovamos q uma premisa é falsa ao chegar a uma conclusão absurda... mas se aceitamos uma premisa como verdadera e chegamos a uma conclusão verdadeira, n é possível que esse seja um resultado parcial e q haja outros valores específicos q negam essa premisa? Se n é possível, alguém pode provar que n é? 

Brigaada geente, beeijoks  

Acho que na época também impliquei com isso. Eu não lembro como ele faz, mas se as passagens forem de "se, e somente se" ( <==> ) então não há problema, pois a ida e volta estão sendo provadas simultaneamente, mas ainda assim teria de partir apenas de:
(1+x+yi)/(1+x-yi) e concluir que é igual a z, e não já partir de z = (1+x+yi)/(1+x-yi).

Do contrário, teria de partir apenas de z = x + yi e x² + y² = 1 e chegar na forma mencionada, o que parece complicado de fazer. Se fosse realmente necessário numa prova, parta do final (1+x+yi)/(1+x-yi) até chegar em x + yi num rascunho e volte fazendo os passos inversos.

Ashitaaaka, obg!

Ele n usa 'se e somente se'... E achei MUUUITO estranho ele partir direto da igualdade x.x  Me pareceu uma prova mt estranha... Eu resolvi partindo de (1+x+yi)/(1+x-yi) mesmo! Acho que o Caio se confundiu um pouco na resolução, rsrs. Obrigada mesmo!  Beeijookss   

Boa noite amigos e amigas!
Perdão por reviver o tópico... mas estava fazendo essa questão. Mas não consegui entender a resolução mostrada pelo Caio. Então fui no algebrismo e cheguei a seguinte conta:

 1 + x + yi  .(1 - x + yi)                         1 - x² - y² + yi
-------------                          ∴          ------------------------
 1 + x - yi   .(1 - x + yi)                       1 - x² + y² + 2xyi

E aí, quando cheguei nesse resultado, não sabia mais para onde ir...
Então, eu observei esses: (1 - x² - y²) e (1 - x² + y²) e percebi que ambos são lugares geométricos!
Então coloquei eles no GeoGebra, e conclui que estou certo, nessa parte pelo menos!


O de verde é o (1 - x² + y²)
E o laranja é o (1 - x² - y²)
E ai que está minha dúvida... Se eu montasse esse gráfico na prova, e chegasse a esse mesmo desenho... Eu poderia afirmar, apenas por ele e pelos meus cálculos que coloquei acima, que o z = x + yi pode ser escrito pela forma que foi dada na questão? Visto que temos uma circunferência de raio unitário, além de duas interseções com a mesma e a hipérbole...
Quem puder me ajudar ai, agradeço desde já!!  

Obs.: Não desenvolvi minha conta, apenas botei o resultado final. Se não colocaria contas demais, e como não sei usar o Latex, talvez eu confunda colocando ela toda... 

Esta solução está errada. Eis o modo correto:

..... (1 + x) + y.i ... (1 + x) + y.i ...... (1 + x)² + (y.i)² + 2.(1 + x).y.i
z = --------------- * ----------------- = -------------------------------------
..... (1 + x) - y.i .... (1 + x) + y.i ............... (1 + x)² - (y.i)²

O objetivo de assim proceder é de fazer o denominador virar real e podermos separar a parte real e a parte imaginária de z, para comparar com z = x + y.i

Prossiga com as contas.

Ah sim... Entendi
Já vi o meu erro...
Com relação ao meu desenvolvimento, ficou assim:

(1 + 2x + x² + y²)             2yi . (1 + x)
---------------------- + ---------------------------
(1 + 2x + x² - y²)         (1 + 2x + x² + y²)

Porém, não sei agora para onde ir....
Devia ter pego um material mais fácil para fazer, ainda estou no início de complexos. Devo admitir que ainda não estou muito bem nessa parte kkkk