Por que o método de Gauss-Jordan funciona?

por **Emanuel Dias** Seg 06 Abr 2020, 06:37

Alguém saberia me explicar porque o Método de Gauss-Jordan para encontrar a matriz inversa funciona? Eu quero enxergar isso intuitivamente, como os dois deduziram isso? Do contrário seria algo decorado, não gosto de decorar.

por **fantecele** Seg 06 Abr 2020, 17:31

Nunca cheguei a ver sobre uma possível demonstração disso mas eu acho que a ideia é igual ao de encontrar soluções de um sistema linear, considere que uma matriz A possua uma inversa B, então AB = BA = I, sendo I a matriz identidade, esse Método de Gauss-Jordan se não me engano você escreve tipo A|I, ai vai manipulando e chega em algo como I|B né, pensa o seguinte, você tem conhecido a matriz A e a I, pra encontrar a B você coloca pros elementos da B "números" da forma bij, a ideia é resolver o sistema AB = I (ou BA = I, tanto faz), então pra isso você faz a multiplicação linha por coluna de tudo e monta um sistema linear, se você tiver uma matriz 3x3, por exemplo, vai chegar em um sistema 9x9, aí você vai manipulando esse sistema até chegar em um sistema escalonado reduzido, que no fundo vai ser algo tipo IB = K, sendo I a identidade, B a inversa, e K uma matriz que "apareceu" depois de você manipular as linhas do sistema, aí no caso iremos ter que B = K, veja que de AB = I chegamos em IB = K, então quem "mudou" foi o A "virando" I e o I "virando" o K, a mesma coisa iria acontecer caso você fizesse BA = I, iria chegar em algo como BI = K, daí quando você faz A|I para chegar em I|K é como você estivesse resolvendo um sistema linear, só que de uma forma mais fácil de se ver, evitando colocar um sistema 9x9 por exemplo, o mais importante a se ver é a simetria que forma quando se abre no sistema linear.

A ideia é basicamente isso, quer dizer, eu acho que é isso, espero que não tenha ficado confuso, qualquer coisa é só falar.

por **Emanuel Dias** Seg 06 Abr 2020, 17:42

fantecele escreveu:Nunca cheguei a ver sobre uma possível demonstração disso mas eu acho que a ideia é igual ao de encontrar soluções de um sistema linear, considere que uma matriz A possua uma inversa B, então AB = BA = I, sendo I a matriz identidade, esse Método de Gauss-Jordan se não me engano você escreve tipo A|I, ai vai manipulando e chega em algo como I|B né, pensa o seguinte, você tem conhecido a matriz A e a I, pra encontrar a B você coloca pros elementos da B "números" da forma bij, a ideia é resolver o sistema AB = I (ou BA = I, tanto faz), então pra isso você faz a multiplicação linha por coluna de tudo e monta um sistema linear, se você tiver uma matriz 3x3, por exemplo, vai chegar em um sistema 9x9, aí você vai manipulando esse sistema até chegar em um sistema escalonado reduzido, que no fundo vai ser algo tipo IB = K, sendo I a identidade, B a inversa, e K uma matriz que "apareceu" depois de você manipular as linhas do sistema, aí no caso iremos ter que B = K, veja que de AB = I chegamos em IB = K, então quem "mudou" foi o A "virando" I e o I "virando" o K, a mesma coisa iria acontecer caso você fizesse BA = I, iria chegar em algo como BI = K, daí quando você faz A|I para chegar em I|K é como você estivesse resolvendo um sistema linear, só que de uma forma mais fácil de se ver, evitando colocar um sistema 9x9 por exemplo, o mais importante a se ver é a simetria que forma quando se abre no sistema linear.

A ideia é basicamente isso, quer dizer, eu acho que é isso, espero que não tenha ficado confuso, qualquer coisa é só falar.

Eu não encontrei a demonstração dada por Gauss e Jordan. Mas sua explicação é o bastante no momento. Ficou claro sim, acho que entendi bem, agora consigo deduzir o método escrevendo um sistema qualquer. Obrigado de novo cheers

por **fantecele** Seg 06 Abr 2020, 18:29

Então, você pode tentar provar que as duas maneiras são equivalentes, não deve ser algo difícil, mas parece ser algo muito trabalhoso kkkk, fica aí como desafio mostrar isso "matematicamente".