(ESPCEX 2002) Função exponencial

por C.C Qui 02 Abr 2020, 20:20

O produto dos elementos do conjunto-solução da equação exponencial...
2^(x^2+1/x^2) = 1024/2^(x+1/x)

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

GABARITO (A)

por dibasi Qui 02 Abr 2020, 21:06

Pede-se o produto das raízes da expressão abaixo:

2^(x²+1/x²) = 1.024/2^(x+1/x)--------------veja que 1.024 = 2¹º. Assim, ficamos com:
2^(x²+1/x²) = 2¹º/2^(x+1/x)]
2^(x²+1/x²) = 2^[10 - (x+1/x)]
2^(x²+1/x²) = 2^[10 - x - 1/x)] --------bases iguais, igualam-se os expoentes.Logo:

x² + 1/x² = 10 - x + 1/x ---------mmc = x²
x^(4) + 1 = 10x² - x³ + x ----passando todo o 2º membro paa o 1º, temos:
x^(4) + 1 - 10x² - x³ - x = 0 -------ordenando, temos:
x^(4) - x³ - 10x² - x + 1 = 0

Observe que equações da forma ax^(4) + bx³ + cx² + dx + e = 0 são resolvidas pela relação de Girard.
Segundo essa relação, numa equação da forma dada, ocorrem as seguintes relações quanto às suas raízes, chamando as raízes de "m", "n", "p" e "q".

m+n+p+q = -b/a . (I)
mn+mp+mq+np+nq+pq = c/a . (II)
mnp+mnq+npq = -d/a . (III)
mnpq = e/a . (IV)

No caso, como está sendo pedida a multiplicação das raízes, então utilizaremos a relação (IV), ou seja:
mnpq = e/a

Observe que na nossa equação [x^(4) - x³ - 10x² - x + 1 = 0], temos os seguintes coeficientes:
a = 1
b = -1
c = -10
d = -1
e = 1

Então, teremos para a multiplicação das 4 raízes dessa equação:

mnpq = e/a ------substituindo o "e" por "1" e o "a" por "1", temos:
mnpq = 1/1 = 1

por C.C Sex 03 Abr 2020, 18:09

Muito obrigado!!!!

por **Elcioschin** Sex 03 Abr 2020, 18:59

Outra solução, simplificada:

Fazendo: x + 1/x = y ---> (x + 1/x)² = y² ---> x² + 1/x² = y² - 2 --->

2^{y² - 2} = 2¹⁰/2^y --> 2^{y² + y - 2} = 2¹⁰--> y² + y - 2 = 10 --> y² + y - 12 = 0

Raízes ---> y = - 4 e y = 3

y = - 4 --> x + 1/x = - 4 --> x² + 4.x + 1 = 0 ---> x'.x" = c/a ---> x'.x" = 1

y = 3 --> x + 1/x = 3 --> x² - 3.x + 1 = 0 ---> x'".x"" = c/a ---> x'".x"" = 1

Produto das 4 raízes ---> P = 1

por C.C Dom 05 Abr 2020, 00:58

Elcioschin escreveu:Outra solução, simplificada:

Fazendo: x + 1/x = y ---> (x + 1/x)² = y² ---> x² + 1/x² = y² - 2 --->

2^{y² - 2} = 2¹⁰/2^y --> 2^{y² + y - 2} = 2¹⁰--> y² + y - 2 = 10 --> y² + y - 12 = 0

Raízes ---> y = - 4 e y = 3

y = - 4 --> x + 1/x = - 4 --> x² + 4.x + 1 = 0 ---> x'.x" = c/a ---> x'.x" = 1

y = 3 --> x + 1/x = 3 --> x² - 3.x + 1 = 0 ---> x'".x"" = c/a ---> x'".x"" = 1

Produto das 4 raízes ---> P = 1

Muito boa essa resolução. Obrigado mestre!!!