Gráfico de função modular - Dúvida

Olá, 
tenho uma outra dúvida com gráfico da função modular. Por exemplo nesta questão é dada a seguinte função:



Como já foi claramente esclarecido em outro post, no qual fiz pergunta semelhante, entretanto com uma função diferente; que primeiramente devo dividir as funções da seguinte forma:

Se x≥0, então 


Se x≤0, então 


Portanto, teremos duas funções das quais tenho que desenhar o gráfico. Consegui desenhá-lo, contudo me restou uma dúvida. O gabarito dessa questão foi: 



Por que somente a linha em negrito satisfaz a função?

Você está analisando errado!

i) O módulo de um número nulo ou positivo é o próprio número.
Estamos analisando o módulo do número 4x² - 1, fazendo seu gráfico obtemos que 4x² - 1 >= 0 no intervalo x >= 1/2 ou x <= - 1/2. Então:

f(x) = 4x² - 1 - 3x para x>= 1/2 ou x <= - 1/2

ii) O módulo de um número negativo é o seu oposto.
Estamos analisando novamente o número 4x² - 1. Percebemos pelo gráfico que 4x² - 1 < 0 no intervalo - 1/2 < x < 1/2. Logo:

f(x) = - 4x² + 1 - 3x para - 1/2 < x < 1/2

O gráfico é a junção dos gráficos das funções de (i) e (ii).

Oi, Rory!

Obrigado mais uma vez por tua presteza. Então, tenho que considerar o 4x^2 - 1 como um todo e manipulá-lo algebricamente por meio das condições x>0 e x<0, correto?
A minha análise está errada na construção do gráfico ou na interpretação dele? Pois, da forma que fiz consegui construí-lo conforme o gabarito.

Sim, considera o que está dentro do módulo como um todo, no caso 4x^2 - 1 e verifica os intervalos em que:
I) 4x^2 - 1 >= 0
Para os valores de x encontrados nesse intervalo retira-se o módulo sem inverter o sinal, visto que o módulo de um número >= 0 é o próprio número.
 
II) 4x^2 - 1 < 0
Para os valores de x encontrados nesse intervalo retira-se o módulo invertendo-se o sinal, pois o módulo de um número < 0 (negativo) é o seu oposto.
 
Como eu disse, as sentenças que você formou estão erradas e o gráfico não poderia ser obtido delas, caso tenha feito o gráfico (negrito) com utilizando elas você fez algo errado, veja o gráfico que elas gerariam e compare com o gráfico correto em seguida:

i) Gráfico errado gerado das suas sentenças:


ii) Gráfico correto: