Combinatória Insper 20.1

Uma agência fi nanceira dispõe de sócios localizados em várias cidades para orientar a administração da carteira de investimentos de seus clientes. Os sócios possuem determinado raio de atuação e, a partir dessa informação, a empresa elenca os sócios disponíveis para atender seus novos clientes. Mariana, Paulo e Valdir são três dos sócios de que essa empresa dispõe. Para essa agência, cada cliente deve ser atendido por um único sócio, sendo que nenhum cliente deve fi car sem atendimento. Na última semana, 5 novos clientes (A, B, C, D e E) abriram contas nessa agência. O esquema indica qual cliente está na área de atuação de cada um desses três sócios.

De quantas maneiras a distribuição da carteira de investimentos desses cinco novos clientes pode ser feita, de modo que esses três sócios fi quem com o atendimento de pelo menos um novo cliente? 
 a) 14. 
 b) 12. 
 c) 15. 
 d) 13. 
 e) 16

Como fazer essa questão sem usar uma tabela?  

Spoiler:

O cliente A pode escolher 2 sócios (Mariana ou Paulo).
B pode escolher 2 sócios.
C pode escolher 2 sócios.
D pode escolher 2 sócios.
E pode escolher 1 sócio.
Total: 2*2*2*2*1 = 16 possibilidades

Vamos descontar as possibilidades em que alguém fica sem clientes.

Valdir sem clientes:
A pode escolher 2.
B pode escolher 1.
C pode escolhe 1.
D pode escolher 1.
E pode escolher 1.
Total: 2*1*1*1*1 = 2.

Paulo sem clientes:
A pode escolher 1.
B pode escolher 1.
C pode escolhe 1.
D pode escolher 2.
E pode escolher 1.
Total: 2*1*1*1*1 = 2.

Logo, a resposta é o total de possibilidades menos os casos em que alguém fica sem cliente.
16 - 2 -2 = 14.

Como nenhum pode ficar sem clientes, as possibilidades numéricas são:

....M --- P ---- V
n) 1 --- 1 ---- 3
p) 1 --- 3 ---- 1
q) 3 --- 1 ---- 1
r) 1 --- 2 ---- 2
s) 2 --- 1 ---- 2
t) 2 --- 2 ---- 1

Obrigatoriamente E deve ficar com Mariana

Para n) A deve ficar com Paulo ---> E - A - BCD

Para p) D deve ficar com Valdir ---> E - ABC - D

Para q) temos duas possibilidades ---> ADE - B - C e ADE - C - B

Para r) temos duas possibilidades ---> E - AB - CD e E - AC - BD

Para s) temos tres possibilidades ---> AE - B - CD, AE - C - BD e DE - A - BC

Para t) temos tres possibilidades ---> AE - BC - D, DE - AB - C e DE - AC - B

Encontrei 12 possibilidades, conforme gabarito.