Cp e Cv em função de k (Bolzmann) (Termodinãmica)

Desconsidere esta parte. Vá para a parte seguinte.

Sejam as transformações isobárica (1) e isovolumétrica (2) com uma mesma energia interna. Da 1^a Lei da Termodinâmica:

\\\tau +\Delta U=Q_p\to \tau +\Delta U=nc_p\Delta \theta\ (1)\\\\\Delta U=Q_v\to \Delta U=nc_v\Delta \theta\ (2)\\\\\therefore \ \tau+nc_v\Delta \theta=nc_p\Delta \theta\ (3)\\\\\mathrm{Sendo:\ }\tau=nR\Delta \theta\ \therefore \ nR\Delta \theta+nc_v\Delta \theta=nc_p\Delta \theta\\\\\therefore \ c_p=c_v+R,\ \mathrm{com}\ R=k_B\ \therefore \ \boxed {c_p=c_v+k_B}

Acabou que chegamos na Relação de Mayer.

Acho que a primeira resolução não está boa, pois eu já assumi que a constante de Boltzman é a constante dos gases perfeitos e não foi isso que a questão pediu. Dá para deixá-la mais consistente. Vamos refazer. Veja:

Sejam as transformações isobárica e isovolumétrica com uma mesma energia interna. Da 1^a Lei da Termodinâmica:

\\\left\{\begin{matrix}
\tau +\Delta U=Q_p=nc_p\Delta \theta\\
\Delta U=Q_v=nc_v\Delta \theta
\end{matrix}\right.\\\\\tau=n\Delta \theta(c_p-c_v)=p\Delta V\to c_p-c_v=\frac{p\Delta V}{n\Delta \theta}=k_B, k_B=cte

A prova acaba aqui. Caso a questão pedisse para você dar uma interpretação física para a constante encontrada, daí faríamos o seguinte o que segue.

É sabido que:

pV=nR\theta \to p\Delta V=nR\Delta \theta\to R=\frac{p\Delta V}{n\Delta \theta}=cte=k_B

Logo, a constante de Boltzman corresponde a constante dos gases perfeitos. E aí chegamos na Relação de Mayer.