Dúvida sobre questão de função

Considere uma função f: R → R não constante e tal que f(x + y) = f(x)f(y),∀x, y ∈ R. Das afirmações: 
I. f(x) > 0,∀x ∈ R; 
II. f(nx) = (f(x))n , ∀x ∈ R, ∀x ∈ N; 
III. f é par. É(são) verdadeira(s), apenas: 
A) I e II 
B) II e III 
C) I e III 
D) I, II, III 
E) nenhuma

gabarito:

III) Primeiramente, temos que f(0) = f(0 + 0) = f(0).f(0) = [f(0)]2, o que faz com que f(0) = 1 ou f(0) = 0. Porém, como provado anteriormente, f(x) ≥ 0 para todo x real, e então devemos ter f(0) = 1. 
Temos então que f(x – x) = f(x).f(–x) 
f(0) = f(x).f(–x)
1 = f(x).f(–x) 
f(-x) = 1/f(x)
Fonte: http://www.bernoulliresolve.com.br/anos_anteriores/2003_ita_mat.pdf

Bom dia. 
Por que f(0)=1 ou f(0)=0?

f(x + y) = f(x).f(y)

Para x = y = 0 -> f(0 + 0) = f(0).f(0) --> f(0) = [f(0)]² --> [f(0)]² - f(0) = 0

Fatorando ---> f(0).[f(0) - 1] = 0 ---> Temos duas possibilidades:

1) f(0) = 0
2) f(0) - 1 = 0 ---> f(0) = 1

Bom dia, mestre Elcioschin. 
Muito obrigado pela resposta do senhor.