UDESC 2017.1

Considere, na Figura 2, o quadrado ABCD inscrito na circunferência de equação x^2 + y^2 - 4x -10y + 4 = 0 e o quadrado EFGH circunscrito à circunferência de equação x^2 + y^2 - 6x -10y + 25 = 0. 



Com base nas informações e na Figura 2, analise as sentenças.

 I. A diferença das áreas dos quadrados EFGH e ABCD é de 82 unidades de área. 
II. Se os lados do quadrado EFGH forem paralelos aos eixos do plano cartesiano e às diagonais do quadrado ABCD, então a área do triângulo EAB é de 12 unidades de área.
III. A soma dos perímetros dos quadrados ABCD e EFGH é de 52 2 unidades de comprimento. 

Assinale a alternativa correta. 

a) Somente as sentenças I e II são verdadeiras. 
b) Somente a sentença III é verdadeira. 
c) Somente as sentenças II e III são verdadeiras. 
d) Somente a sentença II é verdadeira. 
e) Somente a sentença I é verdadeira.

Gabarito: letra A.

Monte a equação de cada circunferência no formato (x - xC)² + (y - yC)² = R² 

Com isto você tem os raios r, R de cada circunferência

Para o quadrado menor ---> l² = 2.r²
Para o quadrado maior ---> L = 2.R ---> L² = 4.R²

Isso é impossível porque a circunferência que contém ABCD inscrito de equaçao x^2 + y^2 - 4x -10y + 4 = 0 é maior do que a de equação x^2 + y^2 - 6x -10y + 25 = 0.

Essas questões desses vestibulares são estranhas demais, até parece que querem que o candidato não acerte.

Certamente existe erro no enunciado postado (as equações foram invertidas). Copiei da internet:

Considere, na Figura 2, o quadrado ABCD inscrito na circunferência de equação x² + y² - 6.x - 10.y + 25 = 0 e o quadrado EFGH circunscrito à circunferência de equação x² + y² - 4.x - 10.y + 4 = 0

Obrigado pela informação, Elcioschin. O oficial está aí embaixo.




x² + y² - 6x - 10y + 25 = 0 
x² + y² - 4x - 10y + 4 = 0

x² + y² - 6x - 10y + 25 = 0 

Vamos completar os quadrados

x^2 -6x + 9
(x-3)^2

y^2 -10y + 25
(y-5)^2

Preciso somar +9 

x² + y² - 6x - 10y + 25 + 9 = 0+9 = r^2

raio = V9 = 3 ---- raio*2 = lado*V2 (diagonal do quadrado inscrito) -- 6 = lado*V2 -- lado = 6/V2

Area1 = 6/V2*6/V2 = 36/2 = 18

 x² + y² - 4x - 10y + 4 = 0

Vamos completar os quadrados da outra equação agora

x^2 -4x + 4
(x-2)
y^2-10y + 25
(y-5)^2

Preciso somar +25

 x² + y² - 4x - 10y + 4 + 25 = 0 + 25 = r^2

r = V25 = 5 ---- raio do quadrado circunscrito = lado do quadrado/2 -- lado = 10

Area2 = 10*10 = 100

100-18 = 82, então I correta

II

Veja que com ABCD centralizado na origem, temos



(Lado do Triângulo EAB)^2 = 5^2 + (10-l*V2)^2/4

Lado Triângulo EAB = V(25 + ((10-3*V2)^2/(4))) = 5.76

Perceba que podemos dividir o triângulo em dois tirângulos retangulos com área total

2*(AB/2*5.76)/2 = AB/2*5.76

AB = lado/2 = 6/(2*V2) = 3/(V2)

Logo

AB/2*5.76 = 3/V2*5.76 = 12.09

Portanto, a II está correta também

Agora a III

6/V2*4 + 10*4 = 24/V2 + 40 = 56.97

52*V2 = 73.53

Portanto, III incorreta