Reta e Circunferência

por TrailRunner Dom 29 Set 2019, 16:14

Galera, estou com dúvida na seguinte questão:

Determine o valor de k para que a reta r: y+x+k=0 seja tangente à circunferência da equação x²+y²=4.

Não tenho gabarito da questão pelo motivo da mesma ser uma questão aberta.
Se alguém puder ajudar, desde já agradeço.

por Emersonsouza Dom 29 Set 2019, 16:39

por folettinhomed Dom 29 Set 2019, 16:43

Se a reta é tangente, ela toca a circunferência em apenas um ponto, de forma que a distância desse ponto ao centro da circunferência é igual ao raio da circunferência
Distância entre ponto e reta: D = (|Ax1 + By1 + C|)/(√A² + B²)
Sendo A, B e C os valores da equação da reta e x1 e y1 os pontos do par ordenado da circunferência

Como falei, D = raio da circunferência = 2
Tomando o centro da circunferência como o par ordenado (0,0), podemos descobrir o valor de K, que na fórmula é o valor C
Aplicando na fórmula:
2 = (| 1.0 + 1.0 + K|)/(√(1² + 1²))
2√2 = |K|
|K| ----------= positivo ou negativo
K = 2√2 ou K = -2√2

Avisa se não entender

por Emersonsouza Dom 29 Set 2019, 16:50

O gráfico fica mais ou menos desta forma:

por TrailRunner Dom 29 Set 2019, 17:23

Emersonsouza e folettinhomed, muito obrigado pela ajuda .

No meu caso, eu consegui chegar ao resultado desenvolvendo o sistema da equação da reta e a equação da circunferência e no final igualando o valor de ∆=0
Dessa maneira achei o valor de K, que foi o mesmo que vocês postaram.

Quanto ao jeito que vocês fizeram, achei bem mais fácil, nem tinha imaginado em resolver aplicando a fórmula da distância de ponto a reta.

Segue uma foto da minha resolução.

Abraço.