Funções Quadraticas

por IMPARAVEL Sáb 28 Set 2019, 09:26

Sejam A= [1,6] e as funções de A em R, f e g, definidas por:

$Funções Quadraticas Gif$
$Funções Quadraticas Gif$

Resolva a equação f(x)=g(x)

Alguem poderia me ajudar por favor?

por **Elcioschin** Sáb 28 Set 2019, 10:39

f(x) = x² - 4.x - 5 ---> raízes x = - 1 e x = 5

f(x) é uma parábola com a concavidade voltada para cima: ela é negativa entre as raízes (- 1 < x < 5) e positiva exteriormente às raízes (x < -1 e x > 5)

g(x) = [f(x) + |f(x)|]/2

g(x) = f(x) ---> [f(x) + |f(x)|]/2 = f(x) ---> f(x) + |f(x)| = 2.f(x) ---> |f(x)| = f(x) --->

|x² - 4.x - 5 | = x² - 4.x - 5

Para x < - 1 ou x > 5 ---> x² - 4.x - 5 = x² - 4.x - 5 ---> Identidade

Para - 1 < x < 5 ---> - (x² - 4.x - 5 ) = x² - 4.x - 5 ---> 2.(x² - 4.x - 5) = 0 ---> x² - 4.x - 5 = 0

Para x = - 1 ---> não serve pois o domínio é [1, 6]
Para x = 5 ---> OK

Solução: [5, 6]

por marcosprb Sex 11 Out 2019, 19:09

Elcioschin escreveu:f(x) = x² - 4.x - 5 ---> raízes x = - 1 e x = 5

f(x) é uma parábola com a concavidade voltada para cima: ela é negativa entre as raízes (- 1 < x < 5) e positiva exteriormente às raízes (x < -1 e x > 5)

g(x) = [f(x) + |f(x)|]/2

g(x) = f(x) ---> [f(x) + |f(x)|]/2 = f(x) ---> f(x) + |f(x)| = 2.f(x) ---> |f(x)| = f(x) --->

|x² - 4.x - 5 | = x² - 4.x - 5

Para x < - 1 ou x > 5 ---> x² - 4.x - 5 = x² - 4.x - 5 ---> Identidade

Para - 1 < x < 5 ---> - (x² - 4.x - 5 ) = x² - 4.x - 5 ---> 2.(x² - 4.x - 5) = 0 ---> x² - 4.x - 5 = 0

Para x = - 1 ---> não serve pois o domínio é [1, 6]
Para x = 5 ---> OK

Mestre, o gabarito dessa questão aqui no livro é S=[5;6]
Eu fiz uma solução diferente do Senhor, bem mais trabalhosa, peço que me avise caso tenho cometido algum erro.
Primeiro caso:
|f(x)|=f(x) ⇔ f(x)≥0. O intervalo no qual f(x)≥0 é x≤-1 ou x≥5, fazendo a interseção com o domínio, o intervalo para o qual f(x) é positiva é [5;6]

Então, substituindo |f(x)| por f(x) na função g(x)
g(x)=2f(x)/2 => g(x)=f(x)

Portanto, a equação f(x)=g(x) é equivalente à f(x)=f(x) que também é equivalente a 0=0, portanto o intervalo [5;6] é solução.

Segundo caso:
|f(x)|=-f(x) ⇔ f(x)<0
O intervalo no qual f(x)<0 é -1< x < 5, fazendo a interseção com o domínio, o intervalo para o qual f(x) é negativa é [1;5[
Então, substituindo |f(x)| por -f(x) na função g(x)
g(x)=[f(x)-f(x)]/2 => g(x)=0

Portanto, a equação f(x)=g(x) é equivalente à f(x)=0 => x' =-1 ou x''=5
Como nem x' nem x'' estão no intervalo [1;5[ o segundo caso tem solução vazia.

Portanto, a solução é o intervalo do primeiro caso [5;6]

por **Elcioschin** Sex 11 Out 2019, 23:29

Concordo contigo: eu não analisei para x > 5
E, se testarmos x = 5 e x = 6, atende ao enunciado.
Infelizmente o colega que postou a questão não informou o gabarito: se tivesse feito isto eu teria percebido que minha análise estava incompleta.

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