Lançamento horizontal e oblíquo

Um pequeno corpo é lançado da origem com velocidade Vo segundo um ângulo θ com a horizontal. Outro corpo é lançado com a mesma velocidade Vo, porém, na horizontal de uma altura H, como mostra a figura do problema anterior. Qual deve ser o valor de H tal que eles atinjam o mesmo ponto no eixo x?

Resposta::

Seja o corpo 1 o que parte da origem e o corpo 2 o que parte da altura H.

As equações que descrevem os deslocamentos horizontal e vertical do corpo 1 são dadas, respectivamente, por:
x1(t) = (v0.cos(θ))t
y1(t) = (v0.sen(θ))t - (g/2)t²

As equações que descrevem os deslocamentos horizontal e vertical do corpo 2 são dadas, respectivamente, por:
x2(t) = v0.t
y2(t) = H - (g/2)t²

No instante em que o corpo 1 atinge o solo, tem-se:
y1(t) = 0 → (v0.sen(θ))t - (g/2)t² = 0 → t = 0 ou t = 2v0.sen(θ)/g
Como t = 0 representa o momento do lançamento, então o instante desejado é t = 2v0.sen(θ)/g.

Logo, o alcance horizontal do corpo 1 é:
A1 = x1(2v0.sen(θ)/g) = (2v0.cos(θ))(v0.sen(θ)/g) = 2v0².cos(θ).sen(θ)/g

Usando a identidade trigonométrica sen(2θ) = 2.sen(θ).cos(θ), tem-se que:
A1 = v0².sen(2θ)/g

No instante em que o corpo 2 atinge o solo, tem-se:
y2(t) = 0 → H - (g/2)t² = 0 → t = √(2H/g)

Logo, o alcance horizontal do corpo 2 é:
A2 = x(√(2H/g)) = v0√(2H/g)

Para se ter A1 = A2:
v0².sen(2θ)/g = v0√(2H/g) → v0.sen(2θ)/g = √(2H/g) →
→ 2H/g = v0².sen²(2θ)/g² → H = v0².sen²(2θ)/(2g)

Saquei. Muito obrigado!