(PUC) Área de um polígono regular

por nopz Sáb 17 Ago 2019, 21:43

A área de um polígono regular de apótema a e de n lados, inscrito numa circunferência de raio r, em unidades de área é:

a) 1/2 na √(r²-a²)

b) 1/4 na √(r²-a²)

c) na √(r²-a²)

d) 2 na √(r²-a²)

e) 4 na √(r²-a²)

Alguém poderia explicar de maneira detalhada, por favor

por **Rory Gilmore** Sáb 17 Ago 2019, 22:06

Área de qualquer polígono regular, onde "S" é a área, "p" o semiperímetro e "a" o apótema:
S = p.a

Seja "a" o apótema, "r" o raio do circulo circunscrito e "l" a medida do lado do polígono inscrito.

Por pitágoras obtemos o lado do polígono:
r² = a² + l²/4
4r² = 4a² + l²
l² = 4r² - 4a²
l = 2√(r² - a²)

Determinando o semiperímetro:
p = n.l/2
p = n.2√(r² - a²)/2
p = n.√(r² - a²)

Substituindo na área:
S = p.a
S = n.√(r² - a²).a
S = n.a.√(r² - a²)

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