Questão de Fatorial

Qual o menor valor do número natural n, tal que _{sen [n! . pi/5040] = 0?}

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

observação: em relação ao seno de n! que multiplica pi sobre 5040, tanto o n! como o pi estão sobre 5040.

Bem simples

sen(n!.pi/5040) = 0

sen(n!.pi/7!) = senθ ---> θ = 0, pi, 2.pi, etc.

Para θ = 0 ---> Impossível pois não existe valor n que atenda (já que 0! = 1)

Para θ = pi ---> n!.pi/7! = pi ---> n!/7! = 1 ---> n! = 7! ----> n = 7

Depois de multiplicar em cruz encontrei n! . pi = 0

Se passar o pi para o outro lado n! = 0/pi

Seria isso que você quis dizer que é impossível? E você igualou a pi a um? Seria porque n! = 0 e 0! = 1?

Bom, lembro que o professor utilizou o círculo trigonométrico para resolver essa questão. Ele chegou a igualar sen (n!.pi/5040) = 0 a pi e depois a dois pi, chegando a conclusão de que pi seria maior do que 7! e menor do que 8!. As alternativas possíveis também só estão até 8!, por isso ele marcou 7!

Se a questão queria saber o menor valor, então o menor do círculo trigonométrico é 0, então por isso pi = 0? E assim também fico pensando que o professor chegou a igualar a expressão com 2 pi por conta de 2 pi ser o maior valor do círculo trigonométrico?

Explicando com mais detalhes:

sen(n!.pi/5040) = 0 ---> sen(n!.pi/7!) = 0

Seja θ = n!.pi/7! ---> senθ = 0

Para a função seno ser nula existem infinitas possibilidades: θ = 0, θ = pi, θ = 2.pi, θ = 3.pi, etc.

Ele quer o MENOR valor de n, isto é, ele que o menor valor de θ. Logo, vamos testar apenas os dois menores valores de θ, a começar por θ = 0

θ = 0 ---> n!.pi/7! = 0 ---> n! = 0 ---> Impossível ---> O menor valor do fatorial de um número natural vale 1:
0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, etc.

θ = pi ---> n!.pi/7! = pi --> n!/7! = 1 ---> n! = 7! ---> n = 7