Equação Logarítmica

por Honeyluz29 Dom 28 Jul 2019, 18:29

2^x+1/ 2^{x+2 _}3^{x =}2^x+2+ 3^x / 2^x-1

^{(igualdade entre frações)}

A solução real da equação:
Gabarito x= log_3/2 √15

Alguém pode mostrar a resolução dessa equação? Agradeço muito.

por **Leonardo Mariano** Seg 29 Jul 2019, 00:17

No final, onde há a divisão dos dois logarítmos, foi utilizada a propriedade da mudança de base:
log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}\\ ---------------------------------\\ \frac{2^{x+1}}{2^{x+2}-3^x} = \frac{2^{x+2}+3^x}{2^{x-1}} \rightarrow 2^{x+1} . 2^{x-1} = (2^{x+2}+3^x)(2^{x+2}-3^x) \rightarrow 2^{2x} = 2^{2x+4} - 3^{2x} \rightarrow \frac{2^{2x}}{2^{2x}} = \frac{ 2^{2x+4}}{2^{2x}} - \frac{3^{2x}}{2^{2x}} \rightarrow 1 = 2^4 - (\frac{3}{2})^{2x} \rightarrow 15 = (\frac{3}{2})^{2x} \rightarrow log 15 = log (\frac{3}{2})^{2x} \rightarrow log 15 = 2x.log (\frac{3}{2}) \rightarrow \frac{1}{2}.log15 = x.log (\frac{3}{2}) \rightarrow x = \frac{log \sqrt{15}}{log (\frac{3}{2})} \rightarrow \\ x = log_{3/2} \sqrt{15}

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