Baricentro demonstração

por **Emanuel Dias** Qui 11 Jul 2019, 18:58

Se G é o baricentro de um triângulo ABC, demonstre que : AB²+BC²+CA²=3(GA²+GB²+GC²)

Da pra fazer só por geometria plana?

por **Giovana Martins** Qui 11 Jul 2019, 19:28

Já vi uma questão assim acho que no IME. De qualquer forma, refaça as contas, porque faz tempo que vi essa questão. Embora tenha chegado no resultado, eu não revisei as contas.

\\\Delta ABM:\ AB^2=AM^2+\left ( \frac{BC}{2} \right )^2-AM.BC.cos(\theta )\ (\alpha )\\\\\Delta ACM:\ AC^2=AM^2+\left ( \frac{BC}{2} \right )^2-AM.BC.\underset{-cos(\theta)}{\underbrace{cos(180^{\circ}-\theta )}}\ (\beta )\\\\\alpha +\beta :\ AB^2+AC^2=2.AM^2+\frac{BC^2}{2}\ (\gamma )\\\\\mathrm{Mediana:\ }AM=\frac{3AG}{2}\ \therefore \ \mathrm{De}\ (\gamma ):\ AB^2+AC^2=\frac{9AG^2}{2}+\frac{BC^2}{2}\ (\delta )\\\\\mathrm{Analogamente:\ }AB^2+BC^2=\frac{9BG^2}{2}+\frac{AC^2}{2}\ (\epsilon )\\\\\mathrm{Analogamente:\ }AC^2+BC^2=\frac{9CG^2}{2}+\frac{AB^2}{2}\ (\zeta )\\\\\delta +\epsilon +\zeta :\ 2(AB^2+AC^2+BC^2)=\frac{9}{2}(AG^2+BG^2+CG^2)+\frac{1}{2}(AB^2+AC^2+BC^2)\\\\\therefore \ \boxed {AB^2+AC^2+BC^2=3(AG^2+BG^2+CG^2)}

Nota: M é o ponto de interseção da reta que contém o segmento AG com o segmento BC.

por **Giovana Martins** Qui 11 Jul 2019, 19:31

Se eu não me engano, tem essa resolução no Rufino ou no FME.

por **Emanuel Dias** Qui 11 Jul 2019, 19:37

Giovana Martins escreveu:
Já vi uma questão assim acho que no IME. De qualquer forma, refaça as contas, porque faz tempo que vi essa questão. Embora tenha chegado no resultado, eu não revisei as contas.

\\\Delta ABM:\ AB^2=AM^2+\left ( \frac{BC}{2} \right )^2-AM.BC.cos(\theta )\ (\alpha )\\\\\Delta ACM:\ AC^2=AM^2+\left ( \frac{BC}{2} \right )^2-AM.BC.\underset{-cos(\theta)}{\underbrace{cos(180^{\circ}-\theta )}}\ (\beta )\\\\\alpha +\beta :\ AB^2+AC^2=2.AM^2+\frac{BC^2}{2}\ (\gamma )\\\\\mathrm{Mediana:\ }AM=\frac{3AG}{2}\ \therefore \ \mathrm{De}\ (\gamma ):\ AB^2+AC^2=\frac{9AG^2}{2}+\frac{BC^2}{2}\ (\delta )\\\\\mathrm{Analogamente:\ }AB^2+BC^2=\frac{9BG^2}{2}+\frac{AC^2}{2}\ (\epsilon )\\\\\mathrm{Analogamente:\ }AC^2+BC^2=\frac{9CG^2}{2}+\frac{AB^2}{2}\ (\zeta )\\\\\delta +\epsilon +\zeta :\ 2(AB^2+AC^2+BC^2)=\frac{9}{2}(AG^2+BG^2+CG^2)+\frac{1}{2}(AB^2+AC^2+BC^2)\\\\\therefore \ \boxed {AB^2+AC^2+BC^2=3(AG^2+BG^2+CG^2)}

Nota: M é o ponto de interseção da reta que contém o segmento AG com o segmento BC.

Excelente! Obrigado.