Mínimo múltiplo comum.

por fjoao_ Ter 09 Jul 2019, 08:07

(UFRRJ) Agnaldo, que faria prova de Matemática, após estudar com seu irmão João, tentou fazer uma revisão sobre "múltiplos e divisores" e bolou o seguinte exercício:

Considerando os números a = 3² . 5^x . 7³ . 11⁴ e b = 2³ . 3^y . 11² . 13, quais os valores de x e y para que o m.m.c. (a, b) seja múltiplo de 125 e 81 e não seja múltiplo de 625 nem de 243?

Os resultados corretos são, respectivamente,

A) 2 e 2.
B) 1 e 2.
C) 3 e 4.
D) 3 e 2.
E) 1 e 3.

Alguém pode me ajudar, por favor?

por **Elcioschin** Ter 09 Jul 2019, 11:03

mmc = 2³.3^y.5^x.7³.11⁴.13

125 = 5³ ---> x = 3

81 = 3⁴ ---> y = 4

por Edu lima Ter 09 Jul 2019, 12:10

Uma outra forma de se pensar nessa questão seria:

MMC(a,b) é o produto dos fatores primos comuns e não comuns elevado ao maior expoente. Assim,

a = 3² . 5^x . 7³ . 11⁴

b = 2³ . 3^y . 11² . 13

MMC(a,b)=2³.3^y.5^x.7³.11⁴.13 ; considerando que y>2.

na questão afirma que 81 e 125 é múltiplo do MMC(a,b).

Assim, podemos pensar que existe um "n∈ N" tal que:

MMC(a,b)=n*MMC(81,125)

2³.3^y.5^x.7³.11⁴.13=n*3⁴.5³

Isso implica que:

n=2³.7³.11⁴.13 e

3^y.5^x=3⁴.5³ ---> x=3 e y=4

por fjoao_ Qua 10 Jul 2019, 08:48

Obrigado pelo auxílio Very Happy

.

Contudo, não entendi a interferência do fato de o mmc(a,b) não ser múltiplo de 625 e 243.

por fjoao_ Qua 10 Jul 2019, 09:02

Já entendi kkkkk

Ambos os números servem pra "limitar" a desigualdade de X e Y, certo? Pq 625 = 5 a quarta e 243 = 3 a quinta, assim, isso vai servir pra limitar os valores de X e Y a 3 e 4.