Perímetro mínimo de um triângulo - geometria analítica

Boa tarde, poderiam me ajudar com esta questão?

Considere os pontos A(2;0), B(6;0) e C(k;k).Calcule k para que o perímetro do triângulo ABC tenha perímetro mínimo.

R:1,5

Obrigado!

Estou encontrando k = 12/7

Medeiros, eu fiz aqui e encontrei os 1,5. Eu só não postei aqui ainda porque deu muita conta e eu fiz por derivadas.

Sei. Errei em conta. Fiz e postei enquanto estou dirigindo (crianças não façam isto!).

A resposta é mesmo 3/2.

E é facinho. Basta considerar a reta y=x como um espelho.

Considere os pontos A(2;0), B(6;0) e C(k;k).Calcule k para que o perímetro do triângulo ABC tenha perímetro mínimo.

O lugar geométrico do ponto C(k, k) é a bissetriz do 1° quadrante, y = x. Como a distância AB já está fixada, sobra-nos obter o mais curto caminho indo de A até B passando pela reta r (y=x). Fica bem fácil se imaginarmos que r é um espelho através do qual A vê B ou vice-versa.

Como A está mais perto de r, escolhi ele para ter uma imagem A' no "espelho". Onde fica o ponto A'? A' é o simétrico de A em relação a r. Neste exercício acho que fica mais fácil trabalhar com os quadrados da malha cartesiana. Se r tem inclinação m=1, atravessando as diagonais daqueles quadrados, o ponto imagem A' fica na reta s, perpendicular à r, com m'=-1, e que passando por A atravessa os quadrados na diagonal inversa. Como de A até r tem uma diagonal, de r até A' também terá uma diagonal. Assim temos que A'(0, 2).




B vê a imagem de A, ou seja, vê A'. Então a reta A'B (s) é o caminho mais curto entre A' e B.

\\(s) \to \;\begin{vmatrix}x & y & 1\\
0 & 2 & 1\\
6 & 0 & 1
\end{vmatrix} = 0 \;\;\to \;\; 2x+6y-12=0 \;\;\to\;\; x+3y-6=0 \\\\
\therefore \;\; (s)\; x = -3y+6

\\ C = r\cap s \;\;\to\;\; y=-3y+6 \;\;\to\;\; y = \frac{3}{2} \;\;\Rightarrow \;\; x=y=\boxed{\; k=\frac{3}{2}\;}

Prova de que o caminho ACB é o mais curto
os triângulos APC e A'PC são congruentes pelo caso L.A.L. -- A'P=AP por construção; ângulo de 90°, por construção; e lado PC comum.  Portanto AC=A'C.
Como AC+CB = A'C+CB = A'B que é uma reta, então este é o caminho mais curto, o que implica no menor perímetro para o triângulo.