Hexágono irregular inscrito, IME/ITA nível 2

por lookez Sex 24 maio 2019, 23:03

Seja ABCDEF um hexágono convexo inscrito numa circunferência de raio r. Dado que AB = BC = CD = 2 e DE = EF = FA = 1, determine r.

Gabarito:

Ligando o centro aos vértices e marcando os ângulos dos triângulos isósceles que aparecem consegui determinar que a + b = 120°, a e b sendo os ângulos com vértice na circunferência, dos dois triângulos isósceles diferentes que aparecem três vezes cada. Depois disso não consegui desenvolver.

por **Elcioschin** Sáb 25 maio 2019, 00:17

Nos triângulos OAB, OBC e OCD, seja β = AÔB = AÔC = AÔD

L² = r² + r² - 2.r.r.cosβ ---> 2² = 2.r² - 2.r².cosβ ---> cosβ = 1 - 2/r² ---> calcule senβ ---> I

Nos triângulos ODE, OEF e OFA, seja θ = DÔE = EÔF = FÔA

l² = r² + r² - 2.r.r.cosθ ---> 1² = 2.r² - 2.r².cosθ ---> cosθ = 1 - 1/2.r² ---> calcule senθ ---> II

3.β + 3.θ = 360º ---> β + θ = 120º ---> cos(β + θ) = cos120º ---> cosβ.cosθ - senβ.senθ = -1/2 ---> III

Substitua I e II em III e calcule r

por **Medeiros** Sáb 25 maio 2019, 00:22

Lookez

Qdo chegar em casa, faço um desenho com a resolução.

Para adiantar, sendo O o centro do círculo, pense que:

a) ângulo BAO + FAO = ângulo BOF = 120°

b) chamando BF=x, use a lei dos cos e calcule x no triângulo BAF. Calcule de novo no triângulo BOF, usando o x obtido. Pronto.

por **Medeiros** Sáb 25 maio 2019, 03:16

Seja ABCDEF um hexágono convexo inscrito numa circunferência de raio r. Dado que AB = BC = CD = 2 e DE = EF = FA = 1, determine r.

Hexágono irregular inscrito, IME/ITA nível 2 Scree383

em circunferências de mesmo raio as medidas das cordas são proporconais aos arcos que as vêem. Então

\\\frac{1}{\alpha} = \frac{2+2+2+1+1+1}{2 \pi} \;\to\; \frac{1}{\alpha} = \frac{9}{2 \pi} \;\to\; \alpha = \frac{2\pi}{9} = 40^{\circ} \\
\text{analogamente} \;\; \beta = 80^{\circ}

alguém sabe o cos40° ou cos80°? Nem eu, se soubesse ja estaria resolvido. Então temos de "cavar" mais um pouco.

Conhecido \alpha, no triângulo isósceles OAF os ângulos da base são 70°. Similarmente, no triângulo isósceles OAB os ângulos da base são 50°. Desta forma temos que
\alpha + \beta = \angle BAF = 120^{\circ} , que é um ângulo com cosseno conhecido.

Chamando BF = x e usando a lei dos cossenos,

a) no ∆BAF -----> x² = 1² + 2² - 2.1.2.cos120° -----> x² = 5 + 4.1/2 -----> x² = 7

b) no ∆BOF -----> x² = 2.r².(1 - cos120°) -----> 7 = 2.r².3/2 -----> r² = 7/3 -----> r = √(7/3)

por Conteúdo patrocinado

Hexágono irregular inscrito, IME/ITA nível 2

Hexágono irregular inscrito, IME/ITA nível 2

Re: Hexágono irregular inscrito, IME/ITA nível 2

Re: Hexágono irregular inscrito, IME/ITA nível 2

Re: Hexágono irregular inscrito, IME/ITA nível 2

Re: Hexágono irregular inscrito, IME/ITA nível 2

Um fórum livre e democrático.